Vorlesung 1

Nach einem kurzen Überblick in die Inhalte der gesamten Vorlesung wird in der ersten Vorlesung werden die Grundlagen der Spieltheorie vorgestellt (siehe Teil I). Im Gegensatz zur Physik, die die Gesetzmäßigkeiten der leblosen Materie/Energie und deren Wechselwirkungen in Raum und Zeit betrachtet, ist der wissenschaftliche Untersuchungsgegenstand der Spieltheorie (das zu erforschende Ding) der Mensch, und wir sind daran interessiert wie dieser sich bei ökonomischen oder sozial relevanten strategischen Entscheidungen verhält. Viele Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler betrachten die Spieltheorie als die formale Sprache der ökonomischen Theorie.
Im Prinzip benötigt man für die formale mathematische Definition eines Spiels lediglich die Angabe dreier Größen: Die Menge ${\bf \cal I}$ der Spieler, die Menge (der Raum) ${\bf \cal {S}}$ der Strategien der Spieler und ihre Auszahlungsfunktion (Präferenzordnungen) ${\bf \cal {\$}}$ (siehe I.1.1 Definition eines Spiels). Es wird der Spielbaum und die Auszahlungsmatrix eines simultanen (2 Personen)-(2 Strategien) Spiels (($2 \times 2$) Spiel) vorgestellt

Vorlesung 2

Das Konzept des Nash-Gleichgewichtes wurde in der letzten Vorlesung mittels der Bestantwort-Pfeile an mehreren klassischen Spielen illustriert. In dieser Vorlesung werden die beiden fundamentalen Gleichgewichtskonzepte der Spieltheorie, die dominante Strategien und die Nash-Gleichgewichte, formal mathematisch definiert. Die bisher dargestellten spieltheoretischen Konzepte basierten auf einer diskreten Strategiemenge der Spieler, die sogenannte Menge der reinen Strategien ${\bf \cal{S}}$. Wir erweitern nun die Menge der reinen Strategien ${\bf \cal{S}}$ zur Menge der gemischten Strategien ${\bf \tilde{\cal{S}}}$. Ein solches Spiel bezeichnet man als die gemischte Erweiterung eines simultanen ($N$ Spieler)-($m$ Strategien) Spiels in strategischer Form mit Auszahlung. Gemischte Strategien können als die Wahrscheinlichkeit des Spielers zur Wahl einer reinen Strategie verstanden werden. Es wird eine gemischte Auszahlungsfunktion der Spieler ${\bf \cal {\tilde{\$}}}$ formuliert und die beiden fundamentalen Gleichgewichtskonzepte der Spieltheorie in der gemischten Erweiterung definiert (siehe Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien). Das Konzept des Nash-Gleichgewichtes in gemischten Strategien (internes Nash-Gleichgewicht) wird am Beispiel des Hirschjagd- und Angsthasen-Spiels diskutiert.

Vorlesung 3

In dieser Vorlesung werden zunächst die unterschiedlichen Spieltypen der gemischten Erweiterung eines simultanen (2 Spieler)-(2 Strategien) Spiels in strategischer Form mit symmetrischer Auszahlungsmatrix klassifiziert. Abhängig von den gewählten Parametern der Auszahlungsmatrix lassen sich symmetrische ($2 \times 2$) Spiele in drei unterschiedliche Spielklassen gliedern: Dominante Spiele, Koordinationsspiele und Anti-Koordinationsspiele (siehe Klassifizierung von symmetrischen (2 Personen)-(2 Strategien) Spielen oder Martin A. Nowak, Evolutionary Dynamics - Exploring the Equations of Life, 2006 (siehe Seite 49-51)).
Die bisher betrachteten Spiele stellen einfachste spieltheoretische Systeme dar. Eine Ausweitung auf mehr Strategien und mehr Spieler bzw. eine Betrachtung unsymmetrischer, sogenannter Bimatrix-Spiele erweitert den Raum der möglichen Spielklassen. Neben den einmalig gespielten simultanen Spielen können auch wiederholte Spiele in extensiver Form und somit eine zeitabhängige Strategiewahl der Spieler betrachtet werden (siehe z.B. Schlee, Walter, Einführung in die Spieltheorie, Vieweg 2004 (siehe Seite 91-116)), oder kooperative Spiele mittels einer Bildung von Spielerkoalitionen definiert werden (siehe z.B. Schlee, Walter, Einführung in die Spieltheorie, Vieweg 2004 (siehe Seite 117-168)).
Im Folgenden wird das zeitabhängige Strategieverhalten einer Gruppe von Spielern untersucht. Die evolutionäre Spieltheorie betrachtet das zeitliche Verhalten einer ganzen Population von Spieler (unendliche Anzahl von Spielern $N \rightarrow \infty$). Die einzelnen Spieler der Population paaren sich zufällig und spielen ein simultanes ($2 \times m$) Spiel, erhalten ihre erzielten Auszahlungen und paaren sich dann erneut um das gleiche Spiel immer wiederkehrend zu spielen. Gegeben sei die strategische Form eines, zunächst noch unsymmetrischen (2 Personen)-(m Strategien) Spiels $\Gamma$. $x^\mu_i(t)$ ($i=1, 2, ..., m_\mu$ und $\mu=A,B$) seien die zeitabhängigen, gemittelten Anteile der Spieler innerhalb der Spielergruppe $\mu=A,B$, die die Strategie i wählen; sie entsprechen somit einer Art von gemischten Strategie der gesamten Populationsgruppe. Die zeitliche Veränderung der Populationsvektoren $\vec{x}^A(t)$ und $\vec{x}^B(t)$ spiegelt die in der Gruppe vorherrschende Strategiewahl zum Zeitpunkt $t$ wider und sind durch folgende Differentialgleichung bestimmt (siehe Die Gleichungen der evolutionären Dynamik und Schlee, Walter, Einführung in die Spieltheorie, Vieweg 2004, Seite 169-188)): \[ \begin{eqnarray} \frac{d \vec{x}^A}{dt} &=& \hat{\bf x}^A \left( \hat{\bf {\cal \$}}^A\,\vec{x}^B \right) - \left(\left(\hat{\bf {\cal \$}}^A\,\vec{x}^B \right)^T \vec{x}^A \right) \vec{x}^A \nonumber \\ \frac{d \vec{x}^B}{dt} &=& \hat{\bf x}^B \left( \hat{\bf {\cal \$}}^B\,\vec{x}^A \right) - \left(\left(\hat{\bf {\cal \$}}^B\,\vec{x}^A \right)^T \vec{x}^B \right) \vec{x}^B \quad ,\nonumber \end{eqnarray} \] wobei $\hat{\bf x}^\mu:={\rm diag\!}\left( x^\mu_1(t), x^\mu_2(t), ..., x^\mu_{m_\mu}(t) \right)$. Die maßgeblichen Faktoren, die die evolutionäre Entwicklung bestimmen sind der Soziobiologie entnommen und basieren auf Reproduktion, Mutation und Selektion der Strategieentscheidungen. Die zugrundeliegende mathematische Beschreibung und Herleitung der Gleichung lehnt sich an die, in der theoretischen Biologie verwendete, sogenannte Quasispezies-Gleichung (siehe M.A. Nowak, Evolutionary Dynamics - Exploring the Equations of Life, 2006, S: 33) an.

Vorlesung 4

In der vorigen Vorlesung wurden die zugrundeliegenden Differentialgleichungen der evolutionäre Spieltheorie für zeitlich sich wiederholende, unsymmetrische (2 Personen)-(m Strategien) Spiele dargestellt. Wir beschränken uns im Folgenden auf den 2-Strategien Fall ($m_{\small A}=m_{\small B}=2$), lassen jedoch weiter eine Unsymmetrie der Auszahlungsmatrix zu (evolutionäre Bi-Matrix Spiele). Die beiden Komponenten der zweidimensionalen gruppenspezifischen Populationsvektoren lassen sich dann, aufgrund ihrer Normalisierungsbedingung, auf eine Komponente reduzieren ($x^A_2=1-x^A_1$ und $x^B_2=1-x^B_1$). Das zeitliche Verhalten der Komponenten der Populationsvektoren (Gruppe A: $x(t):=x^A_1(t)$ und Gruppe B: $y(t):=x^B_1(t)$) wird in der Reproduktionsdynamik mittels des folgenden Systems von Differentialgleichungen beschrieben: \[ \begin{eqnarray} &&\frac{d x(t)}{dt} \,=\, g_A(x,y) \quad, \quad \frac{d y(t)}{dt} \,=\, g_B(x,y)& \nonumber \\ g_A(x,y) &:=& \left[ \left( \$^A_{11} + \$^A_{22} - \$^A_{12} - \$^A_{21} \right) \,y(t) + \right. \nonumber \\ && + \left. \left( \$^A_{12} - \$^A_{22}\right) \right] \,\left( x(t) - \left( x(t) \right)^2 \right) \nonumber \\ g_B(x,y) &:=& \left[ \left( \$^B_{11} + \$^B_{22} - \$^B_{12} - \$^B_{21} \right) \,x(t) + \right. \nonumber \\ && + \left. \left( \$^B_{12} - \$^B_{22}\right) \right] \,\left( y(t) - \left( y(t) \right)^2 \right) \end{eqnarray} \] In dieser Vorlesung betrachten wir jedoch zunächst die Lösungen der Differentialgleichung für sich wiederholende, symmetrische (2 Personen)-(2 Strategien) Spiele. Aufgrund der Symmetrie des Spiels besteht die betrachtete Population nun nur aus einer Gruppe von ununterscheidbaren Spielern (beschrieben durch den Populationsvektor $x(t)$). Die Replikatordynamik der evolutionäre Spieltheorie vereinfacht sich in diesem Spezialfall auf nur eine nichtlineare Differentialgleichung erster Ordnung: \[ \begin{eqnarray} \frac{d x(t)}{dt} &=& \left[ (\$_{11} - \$_{21}) (x-x^2) + (\$_{12} - \$_{22}) (1-2x+x^2) \right] \, x(t) \nonumber \\ &=:&\,g(x) \end{eqnarray} \] Im linken Panel dieser Vorlesung werden die Lösungen der Differentialgleichungen nummerisch berechnet und analysiert. In Abhängigkeit der zugrundeliegenden Spielklasse des evolutionären Spiels sind unterschiedliche evolutionär stabilen Strategien möglich (siehe Evolutionär stabile Strategien).

Vorlesung 5

Die in der letzten Vorlesung analysierten evolutionären Spiele waren auf nur zwei reine Strategien beschränkt. Wir betrachten in dieser Vorlesung den Fall, dass eine Population ein wiederholtes (2 Personen)-(3 Strategien) Spiel spielt und beschränken uns dabei auf symmetrische Spiele. Symmetrische ($2\times m$)-Spiele werden durch die folgende Differentialgleichung beschrieben: \[ \begin{equation} \frac{d \vec{x}}{dt} = \hat{\bf x} \left( \hat{\bf {\cal \$}}\,\vec{x} \right) - \left(\left(\hat{\bf {\cal \$}}\,\vec{x} \right)^T \vec{x} \right) \vec{x} \end{equation} \] Aufgrund der Symmetrie der Auszahlungsmatrix $\hat{\bf {\cal \$}} = \hat{\bf {\cal \$}}^A = \left( \hat{\bf {\cal \$}}^B \right)^{\!T}$ kann die zeitliche Entwicklung solcher Spiele durch nur einen Populationsvektor ($\vec{x}(t)=(x_1(t), x_2(t), ..., x_{m}(t))$ beschrieben werden. Wir beschränken uns im Folgenden auf den Fall $m=3$ und setzen die Auszahlungsmatrix wie folgt an: \[ \begin{equation} \hat{\bf {\cal \$}} = \left( \begin{array}{rrr} \$_{11} & \$_{12} & \$_{13}\\ \$_{21} & \$_{22} & \$_{23}\\ \$_{31} & \$_{32} & \$_{33}\\ \end{array} \right) \end{equation} \] Aufgrund der Normalisierungsbedingung des Populationsvektors kann man den Anteil der Population, die z.B. die Strategie 1 ($s_1$) spielen durch die anderen beiden Anteile ausdrücken: $x_1(t)=1 - x_2(t) - x_3(t)$, so dass die Replikatordynamik effektiv ein System von zwei gekoppelten, nichtlinearen Differentialgleichungen erster Ordnung darstellt. Nach Festlegung der Auszahlungsmatrix kann man die zeitliche Entwicklung der Strategiewahl der Population am besten in einem baryzentrischen Dreiecks-Koordinatensystem veranschaulichen, wobei der x-Achsen Wert durch $x:=x_2+x_3/2$ und der y-Achsen Wert durch $y:=x_3$ definiert ist. E. C. Zeeman konnte im Jahre 1980 zeigen, dass man evolutionäre, symmetrische (2x3)-Spiele in 19 Klassen einteilen kann (siehe E.C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Systems, Springer 1980). Im linken Panel dieser Vorlesung werden diese Lösungen in einem Jupyter Notebook nummerisch berechnet und analysiert. Zusätzlich werden im linken Panel mögliche Anwendungsfelder der Spieltheorie vorgestellt.

Vorlesung 6

Die in der letzten Vorlesungen dargestellten Gleichungen und Lösungen der evolutionären Spieltheorie basierten alle auf der Einschränkung einer vereinfachten zugrundeliegenden Netzwerkstruktur (Netzwerktopologie) der Spieler. Die jeweiligen Spieler der betrachteten Population suchen in jeder Spielperiode einen neuen Spielpartner, wobei sie hierbei zufällig vorgehen (zufälliges Netzwerk) und vom Prinzip her mit jedem Spieler innerhalb der Population potenziell das zugrundeliegende Spiel spielen können (vollständig verbundenes Netzwerk). In Bimatrix Spielen suchen sich die Spieler der Teilpopulation A einen zufälligen Spielpartner aus Gruppe B (bzw. umgekehrt). Betrachtet man sich jedoch real existierende sozio-ökonomische Netzwerke, so zeigt sich, dass diese Annahme oft nicht erfüllt ist. Personen kennen oft nur eine Teilmenge von Spielern innerhalb der Population (kein vollständig verbundenes Netzwerk) und die Wahl der potenziellen Spielpartner erfolgt oft auch nicht nach zufälligen Mustern.
Die Theorie der komplexen Netzwerke ist ein eigenständiges interdisziplinäres Forschungsfeld das seine Anwendung in einer Vielzahl von unterschiedlichen biologischen und sozio-ökonomischen Systemen findet. Da diese Theorie aus dem mathematischen Zweig der Graphentheorie entstanden ist benutzt sie nicht die mathematischen Ausdrücke der Spieltheorie. Man spricht z.B. nicht von Spielern, sondern von Knoten (bzw. Vertices) und die Verbindungen zwischen den Knoten werden als Kanten (bzw. Links) bezeichnet. Die sich zu Beginn des 21. Jahrhunderts rasant entwickelnde Network Science umfasst Anwendungsfelder wie die sozialen Netzwerke (z.B. berufliche, freundschaftliche und familiäre Kontakte), die Kommunikationsnetzwerke (z.B. Internet, Facebook, Twitter), die Energie- und Stromnetzwerke der Generatoren und Übertragungsleitungen, die neuronalen Netzwerke zur Erklärung der Funktionsweise des Gehirns, die Genen- Proteinen und zellulare Netzwerke und viele weitere Interaktionen zwischen Systemkomponenten.
Formal lassen sich komplexe Netzwerke in verschiedene Typen untergliedern: Netwerke mit nur einer Knotenart oder Netzwerke bestehend aus mehreren Knotenarten, gerichtet und ungerichtet Netzwerke, gewichtete und ungewichtete Netzwerke und zeitlich anwachsende oder abnehmende Netzwerke (näheres siehe Einführung in die Theorie der komplexen Netzwerke).
Die Theorie der komplexen Netzwerke und deren Anwendungsfelder ist in der frei zugängliche Onlineversion des Buches Network Science von Albert-Laszlo Barabasi sehr schön dargestellt und ich empfehle dieses Buch im Besonderen.

Vorlesung 7

In der vorigen Vorlesung hatten wir die beiden Netzwerk-Klassen der zufälligen und 'kleine Welt' Netzwerke kennengelernt. In dieser Vorlesung befassen wir uns mit den Eigenschaften von exponentiellen und skalenfreien Netzwerken. In exponentiellen und skalenfreien Netzwerken besitzen sehr viele Knoten wenig Kanten und einige wenige Knoten sehr viele Kanten. Im Gegensatz zu zufälligen Netzwerken ist die Verteilungsfunktion der Knotengrade ($P(k)$) somit nicht binomialverteilt, sondern folgt einem anderen mathematischen Verhalten.
Exponentielle Netzwerke entstehen auf natürliche Weise mittels eines zeitlichen Anwachsens der Netzwerkknoten. Betrachtet man z.B. ein Netzwerk, das zunächst nur aus einer geringen Anzahl von Knoten und Kanten besteht und fügt diesem Netzwerk nach und nach weitere Netzwerk Knoten hinzu, wobei man jeden neuen Knoten in zufälliger Weise mit einem der Knoten des bestehenden Netzwerkes verlinkt, so erhält man ein exponentielles Netzwerk (siehe Animation im linken Panel dieser Vorlesung). Die Verteilungsfunktion der Knotengrade bei exponentiellen Netzwerken folgt näherungsweise dem folgenden mathematischen Gesetz: $P(k)=2^{-k}$.
Die Klasse der skalenfreien Netzwerke ist die wohl wichtigste aller Netzwerk-Klassen da diese topologische Eigenschaft in vielen real existierenden Netzwerken realisiert ist (siehe Table 4.1: Albert-Laszlo Barabasi, Network Science). Die Verteilungsfunktion der Knotengrade von skalenfreien Netzwerken wird mathematisch durch eine 'power-law distribution' beschrieben ($P(k)\sim k^{- \gamma}$), wobei viele real existierende komplexe Netzwerke einen Exponenten $\gamma$ im folgenden Wertebereich besitzen $2 < \gamma < 3$. Die Bezeichnung skalenfrei gründet hierbei auf der Eigenschaft, dass eine Umskalierung $k\rightarrow \alpha k$ mit einem beliebigen Faktor $\alpha$ wiederum zu einem Potenzgesetz führt: $P(\alpha k) = \alpha^{- \gamma}k^{- \gamma} \sim k^{- \gamma}$. In skalenfreien Netzwerken existieren einige Knoten die einen sehr großen Knotengrad besitzen (sogenannte Hubs). Die Entstehung solcher Hubs ist aufgrund des Prinzips des 'Preferential Attachment' möglich (siehe linkes Panel dieser Vorlesung).
In den bisher dargestellten komplexen Netzwerken betrachteten wir lediglich eine Knotenart. Multipartite Netzwerke stellen komplexe Systeme dar in denen mehrere Knotenarten miteinander in Verbindung stehen (siehe z.B. Zitations- und Autorennetzwerke).
Da es sich bei dieser Vorlesung um die letzte Vorlesung vor den Weihnachtsfeiertagen handelt (Weihnachtsvorlesung) erzähle ich noch kurz am Ende die kleine Anekdote: Wie ich Prof. Nash kennenlernte

Vorlesung 8

Die in den letzten beiden Vorlesungen thematisierten Netzwerke spielen eine wichtige Rolle in einer Vielzahl von unterschiedlichen Anwendungsfelder. In dieser Vorlesung wollen wir, aufgrund der aktuellen COVID-19-Pandemie, die Ausbreitung eines Krankheitserregers auf einem komplexen Kontakt-Netzwerk beschreiben und analysieren. Die in dieser Vorlesung vorgestellten mathematischen deterministischen Modelle und Computersimulationen sind allgemein angelegt und können z.B. auch die Ausbreitung eines Computervirus im Internet oder eines Gerüchts ("Fake-News") in einem sozialen Netzwerk beschreiben. Im allgemeinen hängt die Ausbreitung vom jeweiligen Übertragungsmechanismus, der Struktur des zugrundeliegenden komplexen Netzwerkes und von dem Verhalten der Überträger (Knoten, Spieler, Agenten) ab.
Wir betrachten zunächst ein Modell (das Susceptible-Infected-Recovered (SIR) Modell) aus der Epidemiologie, welches die Ausbreitung eines Krankheitserregers, unter gewissen vereinfachten Grundannahmen, in einer analytisch formulierten Differentialgleichung beschreibt (Details siehe z.B. Online-Buch 'Network Science' von Albert-Laszlo Barabasi, Chapter 10: Spreading phenomena)). Im SIR-Modell befindet sich jedes Individuum der betrachteten Population zu jedem Zeitpunkt in einer von drei unterschiedlichen Zuständen: Susceptible (S: Gesunde Personen, die mit dem Virus noch keinen Kontakt hatten), Infected (I: Infizierte Personen, die mit dem Virus Kontakt hatten und andere anstecken können) und Recovered (R: Personen, die infiziert waren aber nicht mehr infektiös sind und sich von der Krankheit erholt haben). Das dem Model zugrundeliegende Kontakt-Netzwerk basiert auf einer 'homogene Massenwirkungsnäherung', die annimmt, dass jede Person mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit jeder Anderen in Kontakt treten kann. Man nimmt an, dass ein typisches Individuum im Durchschnitt $<\!\!k\!\!>$ Kontakte hat und dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankheit in einer Zeiteinheit $\Delta t$ von einem Infizierten auf eine andere Person übertragen wird, mittels des Parameters $\beta$ quantifiziert ist. Zusätzlich können sich infizierte Personen mit einer Wahrscheinlichkeit $\mu$ von der Krankheit erholen/sterben. Die genesenen ("Recovered") Personen betrachtet man als nicht mehr infizierbar (immun) und nimmt zusätzlich an, dass sie auch keine Anderen infizieren können. Man fügt dieser Personengruppe auch die Personen hinzu, die an dem Virus gestorben sind (Removed). Wir betrachten im Folgenden eine Population aus N Personen. Das dem oben beschriebenen SIR-Modell zugrundeliegende System von Differentialgleichungen lautet: $$ \begin{eqnarray} \frac{d s(t)}{dt} &=& -\underbrace{\beta <\!\!k\!\!> i(t) \cdot s(t)}_{\hbox{pro $\Delta t$ neu Infizierte}} \\ \frac{d i(t)}{dt} &=& -\underbrace{\mu \,i(t)}_{\hbox{pro $\Delta t$ Gen. und Gest.}} + \underbrace{\beta <\!\!k\!\!> i(t) \cdot s(t)}_{\hbox{pro $\Delta t$ neu Infizierte}}\\ \frac{d r(t)}{dt} &=& \underbrace{\mu \,i(t)}_{\hbox{pro $\Delta t$ Genesene und Gestorbene}} \quad , \end{eqnarray} $$ wobei $s(t)=\frac{S(t)}{N}$ der Anteil der noch nicht erkrankten Personen, $i(t)=\frac{I(t)}{N}$ der Anteil der infizierten Personen und $r(t)=\frac{R(t)}{N}$ der Anteil der genesenen und gestorbenen Personen darstellt.
Im oberen Teil des linken Panels dieser Vorlesung werden die nummerischen Lösungen dieser Differentialgleichung berechnet und analysiert. Im unteren Teil des linken Panels wird hingegen die Ausbreitung des Krankheitserregers auf einer komplexen Netzwerkstruktur (z.B. räumliches Kontaktgitter, zufälliges, kleine Welt und sklalenfreies Kontakt-Netzwerk) simuliert und mit den Resultaten des deterministischen SIR-Modells verglichen.

Vorlesung 9

Die Verknüpfung der Theorie der komplexen Netzwerke mit der evolutionären Spieltheorie wird in dieser Vorlesung an mehreren Beispielen gezeigt. Die Entscheidungsprozesse der Spieler auf einem komplexen Netzwerk können mittels numerischer, agenten-basierter Computerprogramme simuliert werden.
Wir betrachten zunächst ein evolutionäres räumliches Spiel (siehe Spatial Games), wobei die Spieler einer endlich großen Population auf einem räumlichen Gitter angeordnet und jeder Spieler nur mit seinen nächsten Nachbarn spielen kann (Moore Nachbarschaft). Das zugrundeliegende Netzwerk der Spielerknoten besitzt somit eine reguläre Struktur und im betrachteten 2-dimensionalen Fall spielt jeder Spieler pro Spielperiode mit acht Spielern (Knotengrad $k_i=8\, \forall\, i \in {\cal I}$).

Vorlesung 10

Sowohl die deterministische evolutionäre Spieltheorie, als auch die Spieltheorie auf komplexen Netzwerken zeigt, dass die Strategienentwicklung von Populationen sich zu Dilemma-artige Situationen entwickeln können. Die einzelnen Spieler der Population sehen sich (aufgrund der Dilemma-artigen Struktur der Auszahlungsmatrix) gezwungen eine Strategie zu wählen, in der jeder einzelne Spieler und somit die gesamte Population einen geringen Nutzen erhielt, obwohl ein vorteilhafterer Zustand möglich wäre. In dieser Vorlesung betrachten wir die Quantenspieltheorie, die einen speziellen mathematischen Formalismus bereitstellt kooperative Effekte in die Spieltheorie miteinzubeziehen. Die Quantenspieltheorie stellt eine mathematische und konzeptuelle Erweiterung der klassischen Spieltheorie dar. Der Raum aller denkbaren Entscheidungswege der Spieler wird vom rein reellen, messbaren Raum in den Raum der komplexen Zahlen (reelle und imaginäre Zahlen) ausgedehnt. Durch das Konzept der möglichen quantentheoretischen Verschränkung der Entscheidungswege im imaginären Raum aller denkbaren Quantenstrategien können gemeinsame, durch kulturelle oder moralische Normen entstandene Denkrichtungen in die evolutionäre Dynamik mit einbezogen werden. Ist die Strategienverschränkung der Spieler im imaginären Raum der denkbaren Entscheidungswege nur genügend groß, so können zusätzliche Nash-Gleichgewichte auftreten und zuvor existente dominante Strategien sich auflösen.

Vorlesung 11 - 13

Studentische Projekte

Die studentischen Projekte können alleine oder in Gruppen (bis zu drei Personen) durchgeführt werden. Under construction ...