Einführung 

In diesem Maple-Worksheet werden die in der Vorlesung definierten Gleichgewichtskonzepte (dominante Strategie, reine und gemischte Nash-Gleichgewichte) am Beispiel dreier simultaner, symmetrischer (2 Spieler)-(2 Strategien) Spiele illustriert.  

Das Gefangenendilemma 

>	restart: with(plots): with(plottools): with(LinearAlgebra): with(ColorTools):

 

Definition der Auszahlunsmatrix für Spieler A: 

>	D_A11:=-7: D_A12:=-1: D_A21:=-9: D_A22:=-3: D_A:=Matrix(2,2,[D_A11,D_A12,D_A21,D_A22]);

 

(2.1)

 

Da sich das Spiel um ein symmetrisches (2 Personen)-(2 Strategien) Spiel handelt, erhält man die Auszahlunsmatrix für Spieler B durch die transponierte Matrix des Spielers A:  

>	D_B:=Transpose(D_A);

 

(2.2)

 

Unter Verwendung der gemischten Strategien (x,y) lässt sich eine gemischte Auszahlungsfunktion der Spieler wie folgt definieren: 

>	Auszahlungsfunktion_A:=(x,y)->D_A[1,1]*x*y+D_A[1,2]*x*(1-y)+D_A[2,1]*(1-x)*y+D_A[2,2]*(1-x)*(1-y); Auszahlungsfunktion_B:=(x,y)->D_B[1,1]*x*y+D_B[1,2]*x*(1-y)+D_B[2,1]*(1-x)*y+D_B[2,2]*(1-x)*(1-y);

 

 

	(2.3)

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A besitzt im oben definierten Gefangenendilenmma das folgende Aussehen: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[95,65],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers B sieht wie folgt aus: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_B(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[5,65],title="Auszahlung an Spieler B",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Der Spezialfall des gemischten Nash-Gleichgewichts besteht, falls die partielle Ableitung der gemischten Auszahlungsfläche verschwindet, also 

>	EqGemNashy:=diff(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x)=0; EqGemNashx:=diff(Auszahlungsfunktion_B(x,y),y)=0;

 

 

	(2.4)

 

Da diese Gleichung keine sinnvolle Lösung besitzt existiert im Gefangenendilemma kein gemischtes Nash-Gleichgewicht. 

Wir konzentrieren uns zunächst auf die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A und werden anhand der Struktur der Auszahlungsflächen die Eigenschaften der dominanten Strategie im Gefangenendilemma verdeutlichen. Die Frage lautet: Unter der Annahme das Spieler B eine feste gemischte Strategie y spielt, welche Strategie x sollte Spieler A wählen, so dass er seine Auszahlung maximiert?  

Nehmen wir an, dass Spieler B die reine Strategie y=0 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A die reine Strategie x=1 zu spielen (siehe weißes Rechteck in der folgenden Abbildung). 

Nehmen wir dagegen an, dass Spieler B die reine Strategie y=1 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A ebenfalls die reine Strategie x=1 zu spielen (siehe schwarzes Rechteck in der folgenden Abbildung). Unanbhängig von der Wahl der Startegie des Spielers B, ist Spieler A immer veranlasst die Strategie x=1 zu spielen (siehe graue Rechtecke in der folgenden Abbildung); (x,y)=(1,1) ist somit die dominante Strategie und das einzige Nash-Gleichgewicht im Gefangenendilemma. 

>

PDollarA:=plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]): MinDollar:=-9: MaxDollar:=-1: Sizecuboid:=0.05: Sizecuboidz:=0.3: anzy:=7: for sety from 0 by 1 to anzy do Ani[sety]:=animate(plots[display], [cuboid([-Sizecuboid/2+x, -Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)-Sizecuboidz/2], [Sizecuboid/2+x, Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)+Sizecuboidz/2])], x = 0 .. 1,scaling=constrained, style = patchnogrid,color=RGBToColor([255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220)])): od: display(PDollarA,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[95,65]); display(PDollarA,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[180,90]); display(PDollarA,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[90,90]);

 

>

 

Das Hirschjagt-Spiel  

>	restart: with(plots): with(plottools): with(LinearAlgebra): with(ColorTools):

 

Definition der Auszahlunsmatrix für Spieler A: 

>	D_A11:=2: D_A12:=4: D_A21:=0: D_A22:=5: D_A:=Matrix(2,2,[D_A11,D_A12,D_A21,D_A22]);

 

(3.1)

 

Da sich das Spiel um ein symmetrisches (2 Personen)-(2 Strategien) Spiel handelt, erhält man die Auszahlunsmatrix für Spieler B durch die transponierte Matrix des Spielers A:  

>	D_B:=Transpose(D_A);

 

(3.2)

 

Unter Verwendung der gemischten Strategien (x,y) lässt sich eine gemischte Auszahlungsfunktion der Spieler wie folgt definieren: 

>	Auszahlungsfunktion_A:=(x,y)->D_A[1,1]*x*y+D_A[1,2]*x*(1-y)+D_A[2,1]*(1-x)*y+D_A[2,2]*(1-x)*(1-y); Auszahlungsfunktion_B:=(x,y)->D_B[1,1]*x*y+D_B[1,2]*x*(1-y)+D_B[2,1]*(1-x)*y+D_B[2,2]*(1-x)*(1-y);

 

 

	(3.3)

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A besitzt im oben definierten Hirschjagt-Spiel das folgende Aussehen: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[95,65],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers B sieht wie folgt aus: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_B(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[5,65],title="Auszahlung an Spieler B",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Der Spezialfall des gemischten Nash-Gleichgewichts besteht, falls die partielle Ableitung der gemischten Auszahlungsfläche verschwindet, also 

>	EqGemNashy:=diff(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x)=0; EqGemNashx:=diff(Auszahlungsfunktion_B(x,y),y)=0;

 

 

	(3.4)

 

Das Hirschjagt-Spiel hat somit ein gemischtes Nash-Gleichgewicht bei den folgenden Werten der gemischten Strategien: 

>	GemNashyy:=solve(EqGemNashy,y); GemNashx:=solve(EqGemNashx,x);

 

 

	(3.5)

 

Wir konzentrieren uns zunächst auf die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A und werden anhand der Struktur der Auszahlungsflächen die Eigenschaften der reinen und gemischten Nash-Gleichgewichte verdeutlichen. Die Frage lautet: Unter der Annahme das Spieler B eine feste gemischte Strategie y spielt, welche Strategie x sollte Spieler A wählen, dass er seine Auszahlung maximiert?  

Nehmen wir an, dass Spieler B die reine Strategie y=0 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A auch die reine Strategie x=0 zu spielen (siehe weißes Rechteck in der folgenden Abbildung). 

Nehmen wir dagegen an, dass Spieler B die reine Strategie y=1 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A ebenfalls die reine Strategie x=1 zu spielen (siehe schwarzes Rechteck in der folgenden Abbildung).
Da beim gemischten Nash-Gleichgewicht die Steigung in x-Richtung bei festem y=1/3 identisch verschwindet, verändert sich der Wert der Auszahlung für Spieler A bei Variation von x nicht (siehe rotes Rechteck in der folgenden Abbildung).  

Das Hirschjagt-Spiel besitzt somit ein gemischtes Nash-Gleichgewicht bei der Strategienkombination (x,y)=(1/3 , 1/3) und zwei reine, symmetrische Nash-Gleichgewicht bei (x,y)=(0,0) und (x,y)=(1,1). Die grauen Rechtecke veranschaulichen das Verhalten der Auszahlungsfunktion bei weiteren festen gemischten Strategien y und Variation von x. 

>

PDollarA:=plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]): MinDollar:=0: MaxDollar:=5: Sizecuboid:=0.05: Sizecuboidz:=0.25: anzy:=7: for sety from 0 by 1 to anzy do Ani[sety]:=animate(plots[display], [cuboid([-Sizecuboid/2+x, -Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)-Sizecuboidz/2], [Sizecuboid/2+x, Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)+Sizecuboidz/2])], x = 0 .. 1,scaling=constrained, style = patchnogrid,color=RGBToColor([255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220)])): od: AniGemNash:=animate(plots[display], [cuboid([-Sizecuboid/2+x, -Sizecuboid/2+GemNashyy, Auszahlungsfunktion_A(x,GemNashyy)-Sizecuboidz/2], [Sizecuboid/2+x, Sizecuboid/2+GemNashyy, Auszahlungsfunktion_A(x,GemNashyy)+Sizecuboidz/2])], x = 0 .. 1,scaling=constrained, style = patchnogrid,color=red): display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[95,65]); display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[180,90]); display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[90,90]);

 

>

 

Das Angsthasen-Spiel (Chicken Game) 

>	restart: with(plots): with(plottools): with(LinearAlgebra): with(ColorTools):

 

Definition der Auszahlunsmatrix für Spieler A: 

>	D_A11:=-10: D_A12:=2: D_A21:=0: D_A22:=1: D_A:=Matrix(2,2,[D_A11,D_A12,D_A21,D_A22]);

 

(4.1)

 

Da sich das Spiel um ein symmetrisches (2 Personen)-(2 Strategien) Spiel handelt, erhält man die Auszahlunsmatrix für Spieler B durch die transponierte Matrix des Spielers A:  

>	D_B:=Transpose(D_A);

 

(4.2)

 

Unter Verwendung der gemischten Strategien (x,y) lässt sich eine gemischte Auszahlungsfunktion der Spieler wie folgt definieren: 

>	Auszahlungsfunktion_A:=(x,y)->D_A[1,1]*x*y+D_A[1,2]*x*(1-y)+D_A[2,1]*(1-x)*y+D_A[2,2]*(1-x)*(1-y); Auszahlungsfunktion_B:=(x,y)->D_B[1,1]*x*y+D_B[1,2]*x*(1-y)+D_B[2,1]*(1-x)*y+D_B[2,2]*(1-x)*(1-y);

 

 

	(4.3)

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A besitzt im oben definierten Angsthasen-Spiel das folgende Aussehen: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[95,65],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers B sieht wie folgt aus: 

>	plot3d(Auszahlungsfunktion_B(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],orientation=[95,65],title="Auszahlung an Spieler B",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

Der Spezialfall des gemischten Nash-Gleichgewichts besteht, falls die partielle Ableitung der gemischten Auszahlungsfläche verschwindet, also 

>	EqGemNashy:=diff(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x)=0; EqGemNashx:=diff(Auszahlungsfunktion_B(x,y),y)=0;

 

 

	(4.4)

 

Das Angsthasen-Spiel hat somit ein gemischtes Nash-Gleichgewicht bei den folgenden Werten der gemischten Strategien: 

>	GemNashyy:=solve(EqGemNashy,y); GemNashx:=solve(EqGemNashx,x);

 

 

	(4.5)

 

Wir konzentrieren uns zunächst auf die gemischte Auszahlungsfunktion des Spielers A und werden anhand der Struktur der Auszahlungsflächen die Eigenschaften der reinen und gemischten Nash-Gleichgewichte verdeutlichen. Die Frage lautet: Unter der Annahme das Spieler B eine feste gemischte Strategie y spielt, welche Strategie x sollte Spieler A wählen, dass er seine Auszahlung maximiert?  

Nehmen wir an, dass Spieler B die reine Strategie y=0 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A die reine Strategie x=1 zu spielen (siehe weißes Rechteck in der folgenden Abbildung). 

Nehmen wir dagegen an, dass Spieler B die reine Strategie y=1 spielen würde, dann wäre es das Beste für Spieler A die reine Strategie x=0 zu spielen (siehe schwarzes Rechteck in der folgenden Abbildung).
Da beim gemischten Nash-Gleichgewicht die Steigung in x-Richtung bei festem y=1/11 identisch verschwindet verändert sich der Wert der Auszahlung für Spieler A bei Variation von x nicht (siehe rotes Rechteck in der folgenden Abbildung).  

Das Angsthasen-Spiel besitzt somit ein gemischtes Nash-Gleichgewicht bei der Strategienkombination (x,y)=(1/11 , 1/11) und zwei reine, unsymmetrische Nash-Gleichgewicht bei (x,y)=(0,1) und (x,y)=(1,0). Die grauen Rechtecke veranschaulichen das Verhalten der Auszahlungsfunktion bei weiteren festen gemischten Strategien y und Variation von x. 

>

PDollarA:=plot3d(Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]): MinDollar:=-10: MaxDollar:=2: Sizecuboid:=0.05: Sizecuboidz:=0.5: anzy:=7: for sety from 0 by 1 to anzy do Ani[sety]:=animate(plots[display], [cuboid([-Sizecuboid/2+x, -Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)-Sizecuboidz/2], [Sizecuboid/2+x, Sizecuboid/2+sety/anzy, Auszahlungsfunktion_A(x,sety/anzy)+Sizecuboidz/2])], x = 0 .. 1,scaling=constrained, style = patchnogrid,color=RGBToColor([255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220), 255-round(sety/anzy*220)])): od: AniGemNash:=animate(plots[display], [cuboid([-Sizecuboid/2+x, -Sizecuboid/2+GemNashyy, Auszahlungsfunktion_A(x,GemNashyy)-Sizecuboidz/2], [Sizecuboid/2+x, Sizecuboid/2+GemNashyy, Auszahlungsfunktion_A(x,GemNashyy)+Sizecuboidz/2])], x = 0 .. 1,scaling=constrained, style = patchnogrid,color=red): display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[95,65]); display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[180,90]); display(PDollarA,AniGemNash,seq(Ani[i],i=0..anzy),scaling=unconstrained,view=[-0.01..1.05, -0.01..1.05,1.05*MinDollar..1.05*MaxDollar],orientation=[90,90]);

 

Veranschaulichung der Struktur der Auszahlungsfläche: 

>	animate(plot3d, [Auszahlungsfunktion_A(x,y),x=0..1,y=0..1,orientation=[Winkel*85+95,Winkel*25+65]], Winkel = 0 .. 1,axes=boxed,labels=[x,"y","$"],title="Auszahlung an Spieler A",shading=ZHUE,axesfont=[HELVETICA,13],font=[HELVETICA,15],titlefont=[HELVETICA,16]);

 

>