• Physik der sozio-ökonomischer Systeme mit dem Computer von Dr.phil.nat.Dr.rer.pol. Matthias Hanauske

• Home
• Research
• Contact

Einführung

Teil I

Teil II

Teil III

E-Learning

Bestantwort-Pfeile am Beispiel des Gefangenendilemma, Hirschjagd- und Angsthasen-Spiels

Das Gefangenendilemma

Das wohl bekannteste Beispiel eines (2 Personen)-(2 Strategien) Spiels ist das sogennante Gefangenendilemma:
"Bonnie und Clyde werden nach einem missglückten Banküberfall geschnappt und in verschiedenen Zellen untergebracht. Wenn beide schweigen kann der Staatsanwalt sie nur wegen verbotenen Waffenbesitzes für drei Jahre hinter Gitter bringen. Verrät jedoch einer den anderen, dann bekommt der Geständige als Zeuge der Anklage nur für ein Jahr hinter Gitter - der Nichtgeständige muss dann aber für neun Jahre ins Gefängnis. Gestehen beide, so müssen sie sieben Jahre absitzen."

Es handelt sich bei dieser Entscheidungssituation um ein simultanes (2 Personen)-(2 Strategien) Spiel. Die Menge der Spieler besteht aus "Bonnie und Clyde" (${\bf \cal I} =\left\{ A, B \right\}=\left\{ \hbox{Bonnie}, \hbox{Clyde} \right\}$), die jeweils zwischen den Strategien "Gestehe" und "Gestehe nicht" auswählen können (${\cal S}^A = \left\{ s^A_1, s^A_2 \right\}=\left\{ \hbox{Gestehe}, \hbox{Gestehe nicht} \right\}= \left\{ s^B_1, s^B_2 \right\}={\cal S}^B$).
Die durch die Geschichte beschriebene Auszahlungsmatrix der Spieler stellt die Anzahl der Jahre der Gefängnisstrafe als negative Zahlen dar. Es ist üblich die Auszahlungen eines Spiels in Form einer Tabelle anzugeben (siehe nebenstehende Auszahlungstabelle). Die nebenstehende Abbildung zeigt die Tabelle der "Auszahlungen" (hier die Gefängnisstrafe in Jahren), wobei die roten und blauen Pfeile im Prinzip die Abbildung der besten Antwort der Spieler A (Bonnie) und B (Clyde) visuell darstellen (für eine exakte mathematische Definition der Abbildung der besten Antwort siehe z.B. S:20 in ''Schlee, Walter, Einführung in die Spieltheorie, Vieweg 2004''). Die Abbildung der besten Antwort des Spielers A ist hierbei wie folgt zu verstehen: Unter Annahme, dass Spieler B Gesteht, welche Strategie wäre für Spieler A die Vorteilhafteste? Da ${\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A\dagger}=\hbox{Gestehe}, s^{B}=\hbox{Gestehe} \right)=-7 \,\, \geq \,\, {\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A}=\hbox{Gestehe nicht}, s^{B}=\hbox{Gestehe} \right)=-9$ ist es für Spieler A das beste auch zu Gestehen (der linke rote Pfeil veranschaulicht dies). Dagegen, unter Annahme das Spieler B nicht Gesteht, wäre es das Beste für Spieler A zu Gestehen, da ${\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A\dagger}=\hbox{Gestehe}, s^{B}=\hbox{Gestehe nicht} \right)=-1 \,\, \geq \,\, {\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A}=\hbox{Gestehe nicht}, s^{B}=\hbox{Gestehe nicht} \right)=-3$ (der rechte rote Pfeil veranschaulicht diese Situation). In gleicher Weise kann man sich die besten Antworten aus der Sicht von Spieler B überlegen (blaue Pfeile). Zusammenfassend erkennt man das im Gefangenendilemma beide Spieler zur Strategie Gestehe gezogen werden und somit eine dominante Strategienkombination bei ${s}^{\dagger}=\left( {s}^{A\dagger}, {s}^{B\dagger} \right) = \left( \hbox{Gestehe}, \hbox{Gestehe} \right)$ auftritt welche auch das einzige Nash-Gleichgewicht des Spiels darstellt; ${s}^{\dagger}={s}^{*}$.

Das Hirschjagd-Spiel (Rousseau)

Ein weiteres bekanntes simultanes (2 Personen)-(2 Strategien) Spiel ist das sogennante Hirschjagd-Spiel von Rousseau:
"Zwei Jägern ist es im Laufe der Jagt gelungen einen Hirsch und vier Hasen einzukreisen. Die Jäger stehen nun vor der Entscheidung die Hasen entkommen zu lassen und gemeinsam den Hirsch zu erlegen oder sofort das Feuer auf die Hasen zu eröffnen. Leider können sich beide Jäger nicht miteinander verständigen oder Informationen austauschen - es handelt sich somit um eine simultane Entscheidung. Entscheiden sich beide dafür den Hirsch zu erlegen, dann hat der Hirsch keine Chance. Einen Hirsch kann man für 10 Goldmünzen verkaufen. Entscheiden sich beide für die Hasenjagd, dann erschiesst jeder Jäger zwei Hasen, für die man jeweils eine Goldmünze bekommt. Entscheidet sich jedoch nur einer für die Hirschjagd, so kann der Hirsch entkommen und derjenige der sich für die Hasenjagd entschieden hat kann alle vier Hasen erlegen."
Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die Auszahlungstabelle und zeigt mittels der Bestantwort-Pfeile, dass es in diesem Spiel keine dominante Strategie gibt, sondern zwei symmetrische Nash-Gleichgewicht bei den Strategienkombinationen ${s}^{*} = \left( \hbox{Hasen jagen}, \hbox{Hasen jagen} \right)$ und ${s}^{*} = \left( \hbox{Hirsch jagen}, \hbox{Hirsch jagen} \right)$. Z.B. ist ${s}^{*} = \left( \hbox{Hasen jagen}, \hbox{Hasen jagen} \right)$ ein Nash-Gleichgewicht, da ${\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A*}=\hbox{Hasen jagen}, s^{B}=\hbox{Hasen jagen} \right)=2 \,\, \geq \,\, {\bf {\cal \$}}^A \left( s^{A}=\hbox{Hirsch jagen}, s^{B}=\hbox{Hasen jagen} \right)=0$ und ${\bf {\cal \$}}^B \left( s^{A}=\hbox{Hasen jagen}, s^{B*}=\hbox{Hasen jagen} \right)=2 \,\, \geq \,\, {\bf {\cal \$}}^B \left( s^{A}=\hbox{Hasen jagen}, s^{B}=\hbox{Hirsch jagen} \right)=0$.

Das Angsthasen-Spiel (Chicken Game)