Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer

(Physics of Socio-Economic Systems with the Computer)

Vorlesung gehalten an der J.W.Goethe-Universität in Frankfurt am Main

(Wintersemester 2020/21)

von Dr.phil.nat. Dr.rer.pol. Matthias Hanauske

Frankfurt am Main 26.01.2021

Ditter Vorlesungsteil: Quanten Spieltheorie

Einführung

Die Annahme des vollständig verbundenen, zufälligen Netzwerks, welches die Grundlage der deterministischen evolutionären Spieltheorie bildet, ist in realen sozialen Netzwerken oft nicht erfüllt. In realen sozialen Netzwerken bilden sich oft weitgehend abgeschlossene Cluster von miteinander verbundenen Spielern, die zu anderen Clustern nur bedingt bzw. selten Kontakt haben. Diese Art von Cluster- bzw. Cliquenbildung kann zu einer unterschiedlichen Ausprägung von sozialen Normen innerhalb der einzelnen Teilgruppen führen. Soziale Normen können sich somit herausbilden, die den einzelnen Spielern neben ihrem homo ökonomischen Interesse auch den Blick auf das Wohl der eigenen Gruppe nahelegen. Eine solche Art von induziertem Gruppeninteresse wird im folgenden mittels des Ansatzes der Quanten-Spieltheorie mathematisch in die deterministischen Gleichungen der evolutionären Spieltheorie eingearbeitet. Die Quantenspieltheorie stellt eine mathematische und konzeptuelle Erweiterung der klassischen Spieltheorie dar. Der Raum aller denkbaren Entscheidungswege der Spieler wird vom rein reellen, messbaren Raum in den Raum der komplexen Zahlen (reelle und imaginäre Zahlen) ausgedehnt. Durch das Konzept der möglichen quantentheoretischen Verschränkung der Entscheidungswege im imaginären Raum aller denkbaren Quantenstrategien können gemeinsame, durch kulturelle oder moralische Normen entstandene Denkrichtungen in die evolutionäre Dynamik mit einbezogen werden. Ist die Strategienverschränkung der Spieler im imaginären Raum der denkbaren Entscheidungswege nur genügend groß, so können zusätzliche Nash-Gleichgewichte auftreten und zuvor existente dominante Strategien sich auflösen.
Die erste formale Beschreibung der Quanten-Spieltheorie wurde im Jahre 1999 von Eisert et al. vorgestellt. Diese oft zitierte Arbeit betrachtet die quantentheoretische Erweiterung eines Gefangenendilemma Spiels und zeigt auf, dass die Spieler dem Dilemma entkommen können, falls der strategische Verschränkungswert oberhalb einer dem Spiel eigenen Grenze liegt. Im selben Jahr (1999) analysierte D. A. Meyer das Penny Flip Spiel und erweiterte dieses mittels quantentheoretischer Konzepte. In seinem Artikel betrachtete er den unrealistischen Fall, dass einer der Spieler das im Spiel benutzte Geldstück in einem überlagerten Quantenzustand positionieren könne und zeigte, dass dieser Spieler stets das Spiel gewinnen wird, falls sein Gegenspieler eine rein klassische Strategie benutzt. Im Jahre 2000 kommentierte S.J. van Enk die Arbeit von D. A. Meyer und zeigte, dass Meyer's Behauptung nicht sonderlich beeindruckend ist, da er nur einem der Spieler einen größeren Strategienraum erlaubt. Im Jahre 2000 wendeten Marinatto $\&$ Weber die quantentheoretischen Konzepte auf das Kampf der Geschlechter (battle of sexes) Spiel an und zeigten, dass durch die Verschränkung der Spielerstrategien ein eindeutiges Gleichgewicht möglich ist. In den folgenden Jahren wurden die quantenspieltheoretischen Konzepte auf weitere Spiele ausgedehnt; so analysierte R.V. Mendes die Quantenversion des Ultimatum Spiels, Hogg et al. betrachteten das Öffentliche Gut Spiel, eine Version des Quanten Koordinationsspiels und analysierten Quanten Auktionen. Benjamin $\&$ Hayden erweiterten im Jahre 2001 den Formalismus der Quanten-Spieltheorie auf mehr als zwei Spieler. Im Jahre 2002 benutzten Piotrowski $\&$ Sladkowsky die quantenspieltheoretischen Konzepte um Eigenschaften im Verhalten von Märkten zu erklären. Im Jahre 2006 analysierten Hanauske et al. das Open Access-Publikationsverhalten wissenschaftlicher Autoren mittels des quantentheoretischen Ansatzes. Bereits im Jahre 2001 wurde das erste Quantenspiel auf einem Quantencomputer realisiert, wobei sich die vorhergesagten Eigenschaften bestätigten. Die Resultate dieser Experimente wurden im Jahre 2007 von A. Zeilinger erneut bestätigt. Die ersten Ansätze einer Anwendung der Quanten-Spieltheorie auf sozio-ökonomische Experimente wurden nach 2007 veröffentlicht. Neben diesen Arbeiten, entwickelte sich im Bereich der Psychologie ein weiterer wissenschaftlicher Forschungszweig, welcher quantentheoretische Konzepte zur Erklärung von experimentellen Daten benutzt. Diese Arbeiten zeigen, dass viele, zunächst nicht erklärbare experimentelle Befunde im Bereich der Psychologie, sich mittels quantenlogischer Konzepte beschreiben lassen.

Mathematischer Formalismus der die Quanten Spieltheorie

Die bei der quantentheoretischen Formulierung benutzten mathematischen Ansätze können grob in zwei Hauptströme gegliedert werden. Der Dichtematrix Ansatz der Quantenspieltheorie (siehe Marinatto $\&$ Weber) und den quanten-informationstheoretischen Ansatz von Eisert et al. Der auf quanteninformationstheoretischen Konzepten aufbauende Ansatz hat einerseits den Vorteil, dass die neu entstehenden Quantenstrategien in einem reduzierten Quanten-Strategienraum visualisiert und interpretiert werden können, andererseits baut der Ansatz die Möglichkeit einer Quantenverschränkung in mathematisch eleganter Weise in die Theorie ein, so dass man die Stärke einer möglichen Strategienverschränkung der Spieler mittels eines zusätzlichen Parameters ($\gamma$) im Modell variieren kann. In den ersten Jahren nach seiner Veröffentlichung wurde der Eisert'sche Ansatz von Benjamin $\&$ Hayden und S.J. van Enk angegriffen und kritisch diskutiert. Die damals erhobenen Vorwürfe stellten sich jedoch im Laufe der Zeit als nicht auf die Eisert'sche Theorie anwendbar heraus. Im Folgenden wird das Konzept der Quanten-Spieltheorie (in der Eisert'schen, quanten-informationstheoretischen Nomenklatur) im Detail beschrieben.

In der Quanten-Spieltheorie kann der Entscheidungszustand der beteiligten Akteure, im Gegensatz zur klassischen Spieltheorie, eine gemeinsame Strategienverschränkung aufweisen. Durch das Konzept dieser möglichen quantentheoretischen Verschränkung der Entscheidungswege im imaginären Raum aller denkbaren Quantenstrategien können gemeinsame, durch kulturelle oder moralische Normen entstandene Denkrichtungen, mit in die klassische Theorie einbezogen werden. Eine der grundlegenden Folgerungen aus einer solchen gemeinsamen Strategienverschränkung ist, dass die beteiligten Akteure eine erhöhte Kooperationsbereitschaft aufweisen, da sie dann eine Optimierung des gemeinsamen Zwei-Spielerzustandes $\left| \Psi \right>$ anstreben.

Um die mathematische Beschreibung eines evolutionären, quantenspieltheoretischen Modells zu verdeutlichen, wird im Folgenden zunächst ein (2 Personen)-(2 Strategien) Quantenspiel betrachtet. Der spieltheoretische, binäre Entscheidungsprozess der Akteure soll durch eine allgemeine Auszahlungsmatrix bestimmt sein (siehe nebenstehende Auszahlungstabelle). Die Quanten-Spieltheorie beschreibt den Entscheidungszustand eines Spielers $\mu=A,B$, bevor dieser die endgültige Wahl der reinen Strategie getroffen hat, als eine komplexwertige Größe (Spinor) in einem zweidimensionalen Zustandsraum, dem sogenannten Hilbertraum ${\cal{H}}_\mu$. Die in dieser Arbeit verwendete mathematische Repräsentation dieses Spinors wird mit Hilfe des Entscheidungsoperators $\widehat{{U}}_\mu(\theta_{\!\mu},\varphi_{\!\mu})$ konstruiert, der auf einen Anfangszustand (hier speziell $\left| s^\mu_1 \right>$) wirkt. Ein allgemeiner Entscheidungszustand des Spielers A wird somit wie folgt mathematisch konstruiert: $$\begin{eqnarray} &\left| \psi_A \right>= \psi^A_1 \left| s^A_1 \right> + \psi^A_2 \left| s^A_2 \right> = \left( \begin{array}[c]{c} \psi^A_1\\ -\psi^A_2 \end{array} \right) \in {\cal{H}}_A \nonumber&\\ & \left| s^A_1 \right>= \left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 0 \end{array} \right) \, , \,\, \left| s^A_2 \right>= \left( \begin{array}[c]{c} 0\\ -1 \end{array} \right) \,\, , \,\,\, \psi^A_1=e^{i\,\varphi_{\!A}} \, \hbox{cos}(\frac{\theta_{\!A}}{2}) \, , \,\, \psi^A_2=\hbox{sin}(\frac{\theta_{\!A}}{2})\nonumber&\\ &\left| \psi_A \right>= \widehat{U}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right> =\left( \begin{array}[c]{c} e^{i\,\varphi_{\!A}} \, \hbox{cos}(\frac{\theta_{\!A}}{2})\\ -\hbox{sin}(\frac{\theta_{\!A}}{2}) \end{array} \right) \quad \end{eqnarray}$$

Die reinen Zustände $\left| s^A_1 \right>$ und $\left| s^A_2 \right>$ bilden die Basis des Hilbertraums ${\cal{H}}_A$ des Spielers A und repräsentieren die reinen Strategien $s^A_1$ und $s^A_2$ des Spiels. Der Entscheidungsoperator des Spielers $\mu$ hängt von den beiden Entscheidungswinkeln $\theta_{\!\mu}$ und $\varphi_{\!\mu}$ ab und ist explizit wie folgt definiert:
$$\begin{equation} \widehat{U}_\mu(\theta_{\!\mu},\varphi_{\!\mu}) := \left( \begin{array}[c]{cc} e^{i\,\varphi_{\!\mu}} \, \hbox{cos}(\frac{\theta_{\!\mu}}{2})&\hbox{sin}(\frac{\theta_{\!\mu}}{2})\\ -\hbox{sin}(\frac{\theta_{\!\mu}}{2})&e^{-i\,\varphi_{\!\mu}} \, \hbox{cos}(\frac{\theta_{\!\mu}}{2}) \end{array} \right) \quad \forall \quad \theta_{\!\mu} \in{} [0,\pi] \,\, \wedge \,\, \varphi_{\!\mu} \in{} [0,\frac{\pi}{2}] \quad . \end{equation}$$

In diesem Python Notebook werden die Grundlagen von symmetrischen (2 Spieler)-(2 Strategien) Quantenspiele besprochen und am Beispiel eines dominanten Spiels mit Dilemma veranschaulicht. Zunächst wird das Python Modul "sympy" eingebunden, das ein Computer-Algebra-System für Python bereitstellt und symbolische Berechnungen und im speziellen Matrix-Berechnungen relativ einfach möglich macht.

from sympy import *
from sympy.physics.quantum import TensorProduct
from sympy.physics.quantum.dagger import Dagger
init_printing()

Wir definieren die reinen Zustände $\left| s^A_1 \right>= \left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 0 \end{array} \right)$ und $\left| s^A_2 \right>= \left( \begin{array}[c]{c} 0\\ -1 \end{array} \right)$, welche die Basis des Hilbertraums ${\cal{H}}_A$ des Spielers A bilden.

S1=Matrix([1,0])
S2=Matrix([0,-1])
S1,S2

$$\left ( \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right]\right )$$

Nun folgt die Definition der Entscheidungsoperatoren der Spieler ($\widehat{U}_A(\theta_{A},\varphi_{A})$ bzw. $\widehat{U}_B(\theta_{B},\varphi_{B})$).

pa,ta = symbols("phi_A,theta_A",real=true)
UA=Matrix([[exp(I*pa)*cos(ta/2),sin(ta/2)],[-sin(ta/2),exp(-I*pa)*cos(ta/2)]]);
pb,tb = symbols("phi_B,theta_B",real=true)
UB=Matrix([[exp(I*pb)*cos(tb/2),sin(tb/2)],[-sin(tb/2),exp(-I*pb)*cos(tb/2)]]);
UA,UB

$$\left ( \left[\begin{matrix}e^{i \phi_{A}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} & \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\\- \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{A}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}e^{i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\\- \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\end{matrix}\right]\right )$$

Der Spinor des Spielers A (hier speziell ausgehend von der $\left| s^\mu_1 \right>$ Strategie) ergibt sich durch die Multiplikation des Entscheidungsoperators $\widehat{{U}}_\mu(\theta_{\!\mu},\varphi_{\!\mu})$ mit $\left| s^\mu_1 \right>$ : $\left| \psi_A \right>= \widehat{U}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right> =\left( \begin{array}[c]{c} e^{i\,\varphi_{\!A}} \, \hbox{cos}(\frac{\theta_{\!A}}{2})\\ -\hbox{sin}(\frac{\theta_{\!A}}{2}) \end{array} \right)$

UA*S1

$$\left[\begin{matrix}e^{i \phi_{A}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\\- \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Reellwertige und imaginäre Komponenten des zweidimensionalen Quantenspinors $\left| \psi \right>_{\!A}=\widehat{U}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right>$ des Spielers A als Funktion der Quantenstrategien $\theta_{\!A}$ und $\varphi_{\!A}$.

Durch die Festlegung der Entscheidungswinkel $\theta_{\!\mu}$ und $\varphi_{\!\mu}$ wählt der Spieler seine Quantenstrategie. Die klassische, reine Strategie $s_1$ legt der Spieler durch die Wahl $\theta=0$ und $\varphi=0$ fest: $$\begin{equation} \widehat{s_1}:= \hat{{U}}(0,0) = \left( \begin{array}[c]{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array} \right)\quad, \end{equation}$$

UA.subs([(ta,0),(pa,0)])

$$\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]$$

so dass $\left| \psi \right>_{\!A}=\widehat{U}(0,0) \left| s^A_1 \right>= \left| s^A_1 \right> =\left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 0 \end{array} \right)$

UA.subs([(ta,0),(pa,0)])*S1

$$\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$$

Die reine Strategie $s_2$ wird durch $\theta=\pi$ und $\varphi=0$ festgelegt: $$\begin{equation} \widehat{s_2}:= \hat{{U}}(\pi,0) = \left( \begin{array}[c]{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right)\quad, \end{equation}$$

UA.subs([(ta,pi),(pa,0)])

$$\left[\begin{matrix}0 & 1\\-1 & 0\end{matrix}\right]$$

so dass $\left| \psi \right>_{\!A}=\widehat{U}(\pi,0) \left| s^A_1 \right>=\left| s^A_2 \right> =\left( \begin{array}[c]{c} 0\\ -1 \end{array} \right)$

UA.subs([(ta,pi),(pa,0)])*S1

$$\left[\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right]$$

Zusätzlich zu diesen reinen, klassischen Strategien ist die Quantenstrategie $\widehat{Q}$ wie folgt definiert $$\begin{equation} \widehat{Q}:= \hat{{U}}(0,\pi/2) = \left( \begin{array}[c]{cc} i&0\\ 0&-i \end{array} \right)\quad, \end{equation}$$

UA.subs([(ta,0),(pa,pi/2)])

$$\left[\begin{matrix}i & 0\\0 & - i\end{matrix}\right]$$

so dass $\left| \psi \right>_{\!A}=\widehat{U}(0,\pi/2) \left| s^A_1 \right>=\left( \begin{array}[c]{c} i\\ 0 \end{array} \right)$

UA.subs([(ta,0),(pa,pi/2)])*S1

$$\left[\begin{matrix}i\\0\end{matrix}\right]$$

Der reelwertige Erwartungswert den Zustand $\left| \psi \right>_{\!A}$ der Person A bei der Strategie $s_1$ zu messen lautet:

$P_{1}=\left| \, \left< s^A_1 \, | \psi \right>_{\!A} \, \right|^2 = \left| \, \left< s^A_1 \, \right| \widehat{U}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right> \right|^2$

P1=abs((Dagger(S1)*UA*S1)[0])**2
P1

$$\cos^{2}{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}$$

bzw. bei der Strategie $s_2$ zu messen:

$P_{2}=\left| \, \left< s^A_2 \, | \psi \right>_{\!A} \, \right|^2 = \left| \, \left< s^A_2 \, \right| \widehat{U}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right> \right|^2$

P2=abs((Dagger(S2)*UA*S1)[0])**2
P2

$$\sin^{2}{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}$$

Um den Operatorformalismus der Quanten-Spieltheorie und das Konzept der Quantenstrategien besser zu verstehen, veranschaulicht die unten stehende Abbildung die reellwertigen und imaginären Komponenten $\psi^A_1$ und $\psi^A_2$ des zweidimensionalen Quantenspinors $\left| \psi \right>_{\!A}$ des Spielers A.

import numpy as np
import plotly.graph_objects as go

ReF1=re((UA*S1)[0])
Restate1 = lambdify([ta,pa], ReF1 , "numpy")
ImF1=im((UA*S1)[0])
Imstate1 = lambdify([ta,pa], ImF1 , "numpy")
F2=abs((UA*S1)[1])
state2 = lambdify([ta,pa], F2 , "numpy")

THETA = np.linspace(0, np.pi, 50)
PHI = np.linspace(0, np.pi/2, 50)
THETA, PHI = np.meshgrid(THETA, PHI)
ZREPSI_1 = np.array(list(Restate1(THETA,PHI)), dtype=np.float)
ZIMPSI_1 = np.array(list(Imstate1(THETA,PHI)), dtype=np.float)
ZPSI_2 = np.array(list(state2(THETA,PHI)), dtype=np.float)

fig1 = go.Surface(x=THETA, y=PHI, z=ZREPSI_1, colorscale='Blues', showscale=False, opacity=0.7)
fig2 = go.Surface(x=THETA, y=PHI, z=ZIMPSI_1, colorscale='Reds', showscale=False, opacity=0.6)
fig3 = go.Surface(x=THETA, y=PHI, z=ZPSI_2, colorscale='Greys', showscale=False, opacity=0.7)

layout = go.Layout( autosize=True,
                  width=800, height=800,
                  margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),
                  scene = dict(
                    xaxis_title='theta',
                    yaxis_title='phi',
                    zaxis_title='PSI'))

data=[fig1,fig2,fig3]
fig=go.Figure(data=data, layout=layout)
fig.show()

Die blaue Fläche in der Abbildung veranschaulicht den reellwertigen Anteil der ersten Spinorkomponente (Re($\psi^A_1$)), die rote Fläche beschreibt dessen imaginären Anteil (Im($\psi^A_1$)) und die graue Fläche zeigt den reellwertigen Teil der zweiten Spinorkomponente (Re($\psi^A_2$)) in Abhängigkeit der Winkel $\theta_{\!A}$ und $\varphi_{\!A}$. Da die zweite Spinorkomponente lediglich reellwertige Anteile besitzt veranschaulicht die Abbildung lediglich drei Flächen. Die Menge der klassischen gemischten Strategien des Spielers A (${\bf \tilde{\cal S}}^A = \left\{ \tilde{s}^A_1, \tilde{s}^A_2 \right\}$) ist eine echte Teilmenge des strategischen Hilbertraums des Spielers A (${\cal{H}}_A$) und wird formal realisiert, indem man den Winkel $\varphi_{\!A}$ auf null setzt: $$\begin{equation} {\bf \tilde{\cal S}}^A = \left\{ \left| \psi \right>_{\!A}=\widehat{{U}}(\theta_{\!A},\varphi_{\!A}) \left| s^A_1 \right> \,\, \left| \,\, \varphi_{\!A}\equiv 0 \, , \,\, \theta_{\!A} \in{} [0,\pi] \right. \right\} \subsetneq {\cal{H}}_A \label{eq:psiA_clasical} \quad . \end{equation}$$ In diesem Fall ($\varphi_{\!A}\equiv 0$) verschwinden alle imaginären Anteile des Zustandes $\left| \psi \right>_{\!A}$ und als Folge dessen können die klassischen gemischten Strategien durch Variation des Winkels $\theta \in{} [0,\pi]$ realisiert werden. Für $\varphi_{\!A} > 0$ verschwinden jedoch die imaginären Anteile nicht und diese Art von Quantenstrategien haben kein Pendant in der klassischen Spieltheorie. Da der Entscheidungsoperator auf den reinen Anfangszustand der Strategie $s_1$ wirkt, entstehen mögliche imaginäre Anteile im Zustand $\left| \psi \right>_{\!A}$ lediglich in der ersten Spinorkomponente und man nennt deshalb diese Teilmenge von Quantenstrategien die sogenannten $s_1$-Quantenstrategien.

Die quantentheoretische Beschreibung des Entscheidungszustandes des Spielers A kurz vor der definitiven Auswahl und Bekundung der reinen Strategie besitzt demnach im Allgemeinen neben den reellwertigen auch imaginäre Anteile. Bei $s_1$-Quantenstrategien kann sich der Spieler nur im imaginären Raum der ersten Strategie gedanklich bewegen. Eine grundlegende Eigenschaft der gesamten Quantentheorie ist die prinzipielle Unbeobachtbarkeit des Quantenzustandes. Diese Eigenschaft spiegelt sich in der Quanten-Spieltheorie in der Unbeobachtbarkeit des Gedankenprozesses wider. Die einzelnen Inhalte, Gedankenwege und gefühlsauslösende Überlegungen, die während des Entscheidungsprozesses im Gehirn des Spielers (bewusst oder unterbewusst) ablaufenden, können nicht direkt gemessen werden. $s_1$-Quantenstrategien können als der gedankliche Weg während des Entscheidungsprozesses interpretiert werden, welcher vom gedanklichen Ursprung her von der klassischen Strategie $s_1$ startet und hypothetische Gedankenwege weiterbildet. Aus diesem Grund besitzen die $s_1$-Quantenstrategien (bzw. $s_2$-Quantenstrategien), die speziell bei einer der reinen klassischen Strategien starten ($\{(\theta_{\!A} \equiv 0,\varphi_{\!A}) \mid \varphi_{\!A} \in{} [0,\frac{\pi}{2}] \}$), eine besondere Bedeutung.

Spielbaum eines (2 Personen)-(2 Strategien) Quantenspiels.

Die quantenspieltheoretische Erweiterung beschreibt somit den Entscheidungszustand eines Spielers A als einen im komplexen Hilbertraum definierten Zustandsvektor. Der Spielbaum eines (2 Personen)-(2 Strategien) Quantenspiels ist in der folgenden Abbildung visualisiert.

Der Zwei-Spielerzustand $\left| \Psi \right>$ ist ein vier komponentiger Spinor, welcher auf dem gemeinsamen Hilbertraum der Spieler (${\cal{H}}:={\cal{H}}_A \otimes {\cal{H}}_B$) definiert ist. Die Basisvektoren dieses vierdimensionalen komplexwertigen Raumes werden durch die vier möglichen, klassischen Strategienkombinationen (messbaren Eigenzustände des Quantensystems) gebildet ($\left| s^A_1 s^B_1 \right>:=(1,0,0,0)$, $\left| s^A_1 s^B_2 \right>:=(0,-1,0,0)$, $\left| s^A_2 s^B_1 \right>:=(0,0,-1,0)$ und $\left| s^A_2 s^B_2 \right>:=(0,0,0,1)$). Der Zwei-Spieler-Anfangszustand $\left| s^A_1 s^B_1 \right>$ bildet sich durch das äußere Produkt der Ein-Spieler Zustände $\left| s^A_1 \right>$ und $\left| s^B_1 \right>$. Die vektorielle Repräsentation der allgemeinen Ein-Spieler Zustände $\left| \psi_A \right>$, bzw. $\left| \psi_B \right>$ ist wie folgt durch die Basen der reinen Zustände definiert: $$\begin{eqnarray} &\left| \psi_A \right>:= \left( \begin{array}[c]{c} \psi^A_1\\ -\psi^A_2 \end{array} \right) = \psi^A_1 \, \left| s^A_1 \right> + \psi^A_2 \, \left| s^A_2 \right>\,, \quad \left| \psi_B \right>:= \left( \begin{array}[c]{c} \psi^B_1\\ -\psi^B_2 \end{array} \right) = \psi^B_1 \, \left| s^B_1 \right> + \psi^B_2 \, \left| s^B_2 \right>& \nonumber\\ &\hbox{wobei:}\quad \left| s^\mu_1 \right> = \left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 0 \end{array} \right) \quad \left| s^\mu_2 \right> = \left( \begin{array}[c]{c} 0\\ -1 \end{array} \right)\,, \quad \left| s^A_1 s^B_1 \right>:=\left| s^A_1 \right> \otimes \left| s^B_1 \right> = \left( \begin{array}[c]{c} 1\\ 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)& \end{eqnarray}$$

Die Basisvektoren dieses vierdimensionalen komplexwertigen Raumes ($\left| s^A_1 s^B_1 \right>:=(1,0,0,0)$, $\left| s^A_1 s^B_2 \right>:=(0,-1,0,0)$, $\left| s^A_2 s^B_1 \right>:=(0,0,-1,0)$ und $\left| s^A_2 s^B_2 \right>:=(0,0,0,1)$) werden durch die Tensorprodukte der Ein-Spieler Zustände $\left| s^A_1 \right>$ und $\left| s^B_1 \right>$ gebildet:

S1S1=TensorProduct(S1,S1)
S1S2=TensorProduct(S1,S2)
S2S1=TensorProduct(S2,S1)
S2S2=TensorProduct(S2,S2)
S1S1,S1S2,S2S1,S2S2

$$\left ( \left[\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\-1\\0\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\0\\-1\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\0\\0\\1\end{matrix}\right]\right )$$

Der finale Zwei-Spielerzustand eines simultanen Zwei-Strategien-'One Shot'- Quantenspiels wird somit durch den vierkomponentigen Quantenzustand $\left| \Psi \right>$ beschrieben, welcher sich in der Eisert'schen Repräsentation wie folgt aus dem Anfangszustand $\left| \Psi_0 \right> \,=\, \widehat{\mathcal{J}} \left| s^A_1 s^B_1 \right>$ entwickelt $$\begin{equation} \left| \Psi \right> = \hat{\cal{J}}^\dagger \left( \hat{U}_A \otimes \hat{U}_B \right) \hat{\cal{J}}\, \left| s^A_1 s^B_1 \right> \, , \quad \left| \Psi_0 \right> \,=\, \hat{\cal{J}} \left| s^A_1 s^B_1 \right> \,=\, \left( \begin{array}{c} \cos\left( \frac{\gamma}{2} \right) \\ \\ 0 \\ \\ 0 \\ \\ -i\sin\left( \frac{\gamma}{2}\right) \\ \end{array} \right) \quad , \end{equation}$$ wobei $\hat{\cal{J}}:=(J_{\alpha \beta}), \alpha, \beta=1...4$ die von dem Parameter $\gamma$ abhängige Verschränkungsmatrix (bzw. den Verschränkungsoperator) beschreibt $$\begin{equation} \widehat{\mathcal{J}} := e^{-i \, \frac{\gamma}{2} (\widehat{s_2} \otimes \, \widehat{s_2})} = \left( \begin{array}{cccc} \cos\left( \frac{\gamma}{2} \right) & 0 & 0 & -i\sin\left( \frac{\gamma}{2} \right) \\ & & & \\ 0 & \cos\left( \frac{\gamma}{2}\right) & i\sin\left( \frac{\gamma}{2}\right) & 0 \\ & & & \\ 0 & i\sin\left( \frac{\gamma}{2}\right) & \cos\left( \frac{\gamma}{2}\right) & 0 \\ & & & \\ -i\sin\left( \frac{\gamma}{2}\right) & 0 & 0 & \cos\left( \frac{\gamma}{2}\right) \\ \end{array} \right) \, , \,\, \gamma \in{} [0,\frac{\pi}{2}] \, . \end{equation}$$ $\hat{U}_A:=(U^A_{\alpha \beta}), \alpha, \beta=1...2$ und $\hat{U}_B:=(U^B_{\alpha\beta}), \alpha, \beta=1...2$ stellen die von den Winkeln $\theta_A, \varphi_A$ und $\theta_B, \varphi_B$ abhängigen Entscheidungsmatrizen (Entscheidungsoperatoren) der Spieler A und B dar.

Das Tensorprodukt der Entscheidungsoperatoren der Spieler A und B $\left( \hat{U}_A \otimes \hat{U}_B \right)$ berechnet sich zu:

TensorProduct(UA,UB)

$$\left[\begin{matrix}e^{i \phi_{A}} e^{i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & e^{i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} & e^{i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\\- e^{i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} & e^{i \phi_{A}} e^{- i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & - \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\\- e^{i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & - \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{A}} e^{i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\\\sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & - e^{- i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} & - e^{- i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} & e^{- i \phi_{A}} e^{- i \phi_{B}} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Der Verschränkungsoperator $\widehat{\mathcal{J}} := e^{-i \, \frac{\gamma}{2} (\widehat{s_2} \otimes \, \widehat{s_2})}$ berechnet sich zu:

gam = symbols("gamma",real=true)
J=simplify((TensorProduct(UA.subs([(ta,pi),(pa,0)]),UA.subs([(ta,pi),(pa,0)]))*(-I*gam/2)).exp())
J

$$\left[\begin{matrix}\cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0 & 0 & - i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\\0 & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0\\0 & i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0\\- i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0 & 0 & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Der entsprechende transponierte und konjugiert komplexe Verschränkungsoperator $\hat{\cal{J}}^\dagger$ berechnet sich zu:

Dagger(J)

$$\left[\begin{matrix}\cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0 & 0 & i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\\0 & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & - i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0\\0 & - i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0\\i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} & 0 & 0 & \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Der Anfangszustand $\left| \Psi_0 \right> \,=\, \widehat{\mathcal{J}} \left| s^A_1 s^B_1 \right>$ berechnet sich zu:

psi0=J*S1S1
psi0

$$\left[\begin{matrix}\cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\\0\\0\\- i \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Der finale Zwei-Spielerzustand $\left| \Psi \right> = \hat{\cal{J}}^\dagger \left( \hat{U}_A \otimes \hat{U}_B \right) \hat{\cal{J}}\, \left| s^A_1 s^B_1 \right>$ berechnet sich schließlich zu:

psi_final=simplify(Dagger(J)*TensorProduct(UA,UB)*J*S1S1)
psi_final

$$\left[\begin{matrix}\left(e^{2 i \left(\phi_{A} + \phi_{B}\right)} \cos^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} + \sin^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )}\right) e^{- i \left(\phi_{A} + \phi_{B}\right)} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\\- e^{i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} + i e^{i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} - i e^{- i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} - e^{- i \phi_{A}} \sin^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\\i e^{i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} - e^{i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} - e^{- i \phi_{B}} \sin^{2}{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} - i e^{- i \phi_{A}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )}\\- i e^{- i \phi_{A} - i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} + i e^{i \phi_{A} + i \phi_{B}} \sin{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\gamma}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \cos{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )} + \sin{\left (\frac{\theta_{A}}{2} \right )} \sin{\left (\frac{\theta_{B}}{2} \right )}\end{matrix}\right]$$

Der Erwartungswert der Auszahlungen der Spieler wird zusätzlich durch die Spielmatrix (siehe untere Auszahlungstabelle) mitbestimmt: $$\begin{eqnarray} \$_A&=& \$^A_{11}\,P_{1 1} + \$^A_{12}\,P_{1 2} + \$^A_{21}\,P_{2 1} + \$^A_{22}\,P_{2 2} \label{mixedq_payoff}\\ \$_B&=& \$^B_{11}\,P_{1 1} + \$^B_{21}\,P_{1 2} + \$^B_{12}\,P_{2 1} + \$^B_{22}\,P_{2 2} \nonumber\\ \mbox{mit: } && P_{k l}=\left| \, \left< s^A_k \, s^B_l | \Psi \right> \, \right|^2 \,\, , \quad k, l=\left\{ 1, 2 \right\} \nonumber \end{eqnarray}$$

P_11=conjugate(psi_final[0])*psi_final[0]
P_12=conjugate(psi_final[1])*psi_final[1]
P_21=conjugate(psi_final[2])*psi_final[2]
P_22=conjugate(psi_final[3])*psi_final[3]

a,b,c,d = symbols('\$_{11},\$_{12},\$_{21},\$_{22}',real=true)
Auszahlung_A=a*P_11+d*P_22+c*P_21+b*P_12
Auszahlung_B=a*P_11+d*P_22+b*P_21+c*P_12

Dieser Erwartungswert der Auszahlungen stellt eine Erweiterung des aus der klassischen Spieltheorie bekannten Konzepts der Auszahlungsfunktion in gemischten Strategien dar. Um die Auswirkungen des quantenspieltheoretischen Konzepts auf die dem Spieler ratsame Wahl der Entscheidung zu untersuchen, wird im Folgenden die Struktur der quantenspieltheoretisch erweiterten gemischten Auszahlungsfunktion untersucht. Im Unterschied zur klassischen Auszahlungsfunktion (${\bf \tilde{\cal \$}}^\mu(\tilde{s}^A,\tilde{s}^B)$, die lediglich von den gemischten Strategien des Spielers A ($\tilde{s}^A$) und des Spielers B ($\tilde{s}^B$) abh&auml;ngt, h&auml;ngt die quantentheoretische Erweiterung der Auszahlungsfunktion im Allgemeinen von f&uuml;nf Parametern ab: Die vier Winkel der Entscheidungsoperatoren ($\theta_A,\varphi_A,\theta_B$ und $\varphi_B$) und der Parameter $\gamma$, welcher die Stärke der Strategienverschränkung quantifiziert.

Um die Auszahlungsfunktion dennoch als Fläche in einem dreidimensionalen Raum zu visualisieren, reduziert man deren Abhängigkeiten, indem man einerseits den Verschränkungsparameter $\gamma$ fixiert und die Menge der Quantenstrategien auf diejenigen beschränkt, die vom Ursprung der reinen, klassischen $s_1$-Strategie starten. Die Abhängigkeiten des vier komponentigen Zwei-Spieler Quantenzustand $\left| \Psi \right>$ werden durch die Einführung zweier neuer Parameter ($\tau_A$ und $\tau_B$) reduziert: $\left| \Psi \right>=\left| \Psi(\theta_A,\varphi_A,\theta_B,\varphi_B) \right> \rightarrow \left| \Psi(\tau_A,\tau_B) \right>$. Die für jeden Spieler wählbaren Entscheidungswinkel $\theta$ und $\varphi$ werden dadurch auf einen einzigen Parameter $\tau \, \in{} [-1,1]$ reduziert. Positive $\tau$-Werte entsprechen den klassischen gemischten Strategien, wohingegen negative $\tau$-Werte Quantenstrategien mit $\theta=0$ und $\varphi>0$ repräsentieren. Der gesamte quantentheoretische Strategienraum wird dadurch in vier separate Regionen unterteilt: in den absolut klassischen Bereich (ClCl: $\tau_A,\tau_B\geq0$), den absoluten Quantenbereich (QuQl: $\tau_A,\tau_B<0$) und in die beiden semi-klassischen Quantenbereiche (ClQl: $\tau_A\geq0 \wedge \tau_B<0$ und QlCl: $\tau_A<0 \wedge \tau_B\geq0$). Durch diese $(\tau_A,\tau_B)$-Repräsentation wird die Menge der möglichen Quantenstrategien auf die folgende Untermenge reduziert: $$\begin{equation} \underbrace{\{(\tau \, \pi,0) \mid \tau \in{} [0,1] \}}_{\hbox{klassischer Bereich Cl}} \,\,\, \wedge \,\,\, \underbrace{\{(0,\tau \, \frac{\pi}{2}) \mid \tau \in{} [-1,0[ \}}_{\hbox{Quantenbereich Ql}} \end{equation}$$

Die untere Abbildung stellt die vier Regionen des Visualisierungsraums der quantentheoretischen Auszahlungsfunktion dar.

Die absolut klassische Region (ClCl, $\varphi_A, \varphi_B \equiv 0$) befindet sich im vorderen Bereich, die Region in welchem beide Spieler eine Quantenstrategie wählen (QuQl: $\tau_A,\tau_B<0$) ist im hinteren Bereich des Diagramms zu finden und die semi-klassischen Quantenregionen befinden sich seitlich in dem rechten und linken Bereich.

taua,taub = symbols('tau_A,tau_B',real=true)
def Auszahlung_A_redu(taua,taub,entangle,Da,Db,Dc,Dd):
  if taua>=0 and taub>=0:
    payoff=Auszahlung_A.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua>=0 and taub<0:
    payoff=Auszahlung_A.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua<0 and taub>=0:
    payoff=Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua<0 and taub<0:
    payoff=Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  return payoff

def Auszahlung_B_redu(taua,taub,entangle,Da,Db,Dc,Dd):
  if taua>=0 and taub>=0:
    payoff=Auszahlung_B.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua>=0 and taub<0:
    payoff=Auszahlung_B.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua<0 and taub>=0:
    payoff=Auszahlung_B.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  if taua<0 and taub<0:
    payoff=Auszahlung_B.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])
  return payoff

Dominante Spiele

Wir betrachten im Folgenden ein dominantes Quantenspiel mit der Auszahlungsmatrix:

$\hat{\bf {\cal \$}}= \left( {\begin{array}{cc} 10 & 4 \\ 12 & 5 \\ \end{array} } \right)$

Das durch diesen Parametersatz definierte Spiel gehört der Klasse der dominanten Spiele an. Das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien befindet sich bei der Strategienkombination, bei welcher beide Spieler die Strategie $s_2$ spielen ($s^A_2,s^B_2$).

Da=10
Db=4
Dc=12
Dd=5

X1 = np.linspace(-1, 1, 30)
Y1 = np.linspace(-1, 1, 30)
X, Y = np.meshgrid(X1, Y1)
ZA =[]
ZB =[]
for i in Y1:
    ZA1=[]
    ZB1=[]
    for j in X1:
        ZA1.append(Auszahlung_A_redu(j,i,0,Da,Db,Dc,Dd))
        ZB1.append(Auszahlung_B_redu(j,i,0,Da,Db,Dc,Dd))
    ZA.append(ZA1)
    ZB.append(ZB1)
ZA=np.array(ZA, dtype=np.float)
ZB=np.array(ZB, dtype=np.float)

figSpielerA = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZA, colorscale='Reds', showscale=False, opacity=0.8)
#figSpielerB = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZB, colorscale='Blues', showscale=False, opacity=0.8)

layout = go.Layout( autosize=True,
                   scene_aspectmode='cube',
                  width=800, height=800,
                  margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),
                   scene = 
                   dict(
                    xaxis_title='tau A',
                    yaxis_title='tau B',
                    zaxis_title='$'))

fig=go.Figure(data=figSpielerA, layout=layout)
fig.show()

Die oben dargestellte Abbildung stellt die quantentheoretisch erweiterte Auszahlung $\$_A$ des Spielers A als Funktion der reduzierten $s_1$-Quantenstrategien $\tau_A$ des Spielers A und $\tau_B$ des Spielers B dar. Es wurde die oben angegebene Auszahlungsfunktion eines dominanten Spiels verwendet und die St&auml;rke der Quantenverschr&auml;nkung der Spielerstrategien wurde auf null gesetzt ($\gamma=0$). Als Visualisierungsraum wurde der in der oberen Abbildung beschriebene reduzierte Raum verwendet, wobei der absolute Quantenbereich QuQu, bei dem beide Spieler eine Quantenstrategie benutzen, im hinteren Teil des Diagramms zu finden ist und die rein klassische Region ClCl nach vorne projiziert wurde. Die Abbildung zeigt deutlich, dass das unverschr&auml;nkte Quantenspiel identisch mit der klassischen Version des Spiels ist. Im Bereich, in dem beide Spieler eine Quantenstrategie w&auml;hlen ($\tau_A < 0 \wedge \tau_B < 0$), ist die Auszahlung der Spieler gleich der Auszahlung, als wenn die Spieler die klassische Strategie $s_1$ gew&auml;hlt h&auml;tten ($\$_A(\tau_A=0,\tau_B=0)=10$, $\$_B(\tau_A=0,\tau_B=0)=10$). Das Nash-Gleichgewicht des klassischen Spiels ($(s^A_2,s^B_2)$, die dominante Strategie) entspricht den folgenden $\tau$-Werten: $(s^A_2,s^B_2)\hat{=}(\tau_A=1,\tau_B=1)$ und bleibt auch im unverschränkten Quantenspiel bestehen.

Im Folgenden betrachten wir die Ergebnisse bei einem mittleren Verschränkungswert des Quantenspiels ($\gamma = \pi/8 \approx 0.3927$):

X1 = np.linspace(-1, 1, 30)
Y1 = np.linspace(-1, 1, 30)
X, Y = np.meshgrid(X1, Y1)
ZA =[]
ZB =[]
for i in Y1:
    ZA1=[]
    ZB1=[]
    for j in X1:
        ZA1.append(re(N(Auszahlung_A_redu(j,i,np.pi/8,Da,Db,Dc,Dd))))
        ZB1.append(re(N(Auszahlung_B_redu(j,i,np.pi/8,Da,Db,Dc,Dd))))
    ZA.append(ZA1)
    ZB.append(ZB1)
ZA=np.array(ZA, dtype=np.float)
ZB=np.array(ZB, dtype=np.float)

figSpielerA = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZA, colorscale='Reds', showscale=False, opacity=0.8)
#figSpielerB = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZB, colorscale='Blues', showscale=False, opacity=0.8)

layout = go.Layout( autosize=True,
                   scene_aspectmode='cube',
                  width=800, height=800,
                  margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),
                   scene = 
                   dict(
                    xaxis_title='tau A',
                    yaxis_title='tau B',
                    zaxis_title='$'))

fig=go.Figure(data=figSpielerA, layout=layout)
fig.show()

Die obere Abbildung zeigt die quantentheoretisch erweiterte Auszahlungsfunktion bei einem mittleren Verschränkungswert $\gamma = \pi/8 \approx 0.3927$. Die Struktur der Auszahlungsflächen innerhalb der vollständig klassischen Region ClCl verändert ihr Erscheinungsbild bei ansteigendem $\gamma$-Wert nicht, wohingegen die anderen Bereiche (ClQu, QuCl und QuQu) durch die Stärke der Verschränkung beeinflusst werden. Bei dem, durch den ansteigenden $\gamma$-Wert verursachten Übergang verschwindet zunächst das ursprüngliche im klassischen Spiel existierende Nash-Gleichgewicht. Für Strategienverschränkungen $\gamma$, die größer sind als die erste $\gamma$-Barriere ($\gamma_1\approx0.361$), ist die beste Antwort des Spielers A auf die $s^B_2\hat{=}(\tau_B=1)$-Strategie des Spielers B nicht mehr die Strategie $s^A_2\hat{=}(\tau_A=1)$, sondern die Quantenstrategie $\tau_A=-1$, da die Auszahlung $\$_A(\tau_A=-1,\tau_B=1)\approx5.05$ f&uuml;r diese Strategie nun gr&ouml;&szlig;er ist als die Auszahlung im klassischen Nash-Gleichgewicht ($\$_A(\tau_A=1,\tau_B=1)=5$).

Die erste $\gamma$-Barriere ($\gamma_1\approx0.361$) berechnet sich wie folgt:

Eq_gamma1=Eq(simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-1*pi/2),(tb,1*pi),(pb,0),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])),Dd)
Eq_gamma1

$$8 \sin^{2}{\left (\gamma \right )} + 4 = 5$$

Loes_gamma1=solve(Eq_gamma1)
print(N(Loes_gamma1[0]),N(Loes_gamma1[1]),N(Loes_gamma1[2]),N(Loes_gamma1[3]))
Loes_gamma1

2.78022552968309 3.50295977749650 -0.361367123906708 0.361367123906708

$$\left [ - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{4} \right )} + \pi, \quad \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{4} \right )} + \pi, \quad - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{4} \right )}, \quad \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{2}}{4} \right )}\right ]$$

Für ein allgemeines Spiel gilt für die erste $\gamma$-Barriere $\gamma_1$:

Eq_gamma1=Eq(simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-1*pi/2),(tb,1*pi),(pb,0)])),d)
Eq_gamma1

$$- \$_{12} \sin^{2}{\left (\gamma \right )} + \$_{12} + \$_{21} \sin^{2}{\left (\gamma \right )} = \$_{22}$$

solve(Eq_gamma1,gam)

$$\left [ - \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{12} - \$_{22}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )} + \pi, \quad \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{12} - \$_{22}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )} + \pi, \quad - \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{12} - \$_{22}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )}, \quad \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{12} - \$_{22}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )}\right ]$$

Das ursprüngliche Nash-Gleichgewicht verschwindet demnach für $\gamma > \gamma_1$ und die obere Abbildung veranschaulichte dies.

Ab einer zweiten $\gamma$-Barriere ($\gamma_2 = \pi/6 \approx0.524$) ist die beste Antwort des Spielers A auf die Strategie $\widehat{Q}_B\hat{=}(\tau_B=-1)$ des Spielers B nicht mehr die klassische Strategie $s^A_2\hat{=}(\tau_A=1)$, sondern die Quantenstrategie $\widehat{Q}_A\hat{=}(\tau_A=-1)$, da die Auszahlung $\$_A(\tau_A=1,\tau_B=-1)\approx9.96$ bei einem Wert $\gamma\approx0.524$ niedriger ist als die Auszahlung f&uuml;r den Fall, wenn beide Spieler die Quantenstrategie $\widehat{Q}$ spielen ($\$_A(\tau_A=-1,\tau_B=-1)=10$). Ein neues Nash-Gleichgewicht, welches dann die dominante Strategie des Spiels ist, entsteht demnach für $\gamma > \gamma_2$. Die exakten Werte der beiden $\gamma$-Barrieren können für symmetrische (2 Personen)-(2 Strategien) Quantenspiele analytisch, in Abhängigkeit der Auszahlungsparameter angegeben werden.

Die zweite $\gamma$-Barriere ($\gamma_2 = \pi/6 \approx0.524$) berechnet sich wie folgt:

Eq_gamma2=Eq(simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,1*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-1*pi/2),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])),simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-1*pi/2),(tb,0),(pb,-1*pi/2),(a,Da),(b,Db),(c,Dc),(d,Dd)])))
Eq_gamma2

$$- 8 \sin^{2}{\left (\gamma \right )} + 12 = 10$$

Loes_gamma2=solve(Eq_gamma2)
print(N(Loes_gamma2[0]),N(Loes_gamma2[1]),N(Loes_gamma2[2]),N(Loes_gamma2[3]))
Loes_gamma2

-0.523598775598299 0.523598775598299 2.61799387799149 3.66519142918809

$$\left [ - \frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5 \pi}{6}, \quad \frac{7 \pi}{6}\right ]$$

Für ein allgemeines Spiel gilt für die zweite $\gamma$-Barriere $\gamma_2$:

Eq_gamma2=Eq(simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,1*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-1*pi/2)])),simplify(Auszahlung_A.subs([(ta,0),(pa,-1*pi/2),(tb,0),(pb,-1*pi/2)])))
Eq_gamma2

$$\$_{12} \sin^{2}{\left (\gamma \right )} - \$_{21} \sin^{2}{\left (\gamma \right )} + \$_{21} = \$_{11}$$

solve(Eq_gamma2,gam)

$$\left [ - \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{11} - \$_{21}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )} + \pi, \quad \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{11} - \$_{21}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )} + \pi, \quad - \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{11} - \$_{21}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )}, \quad \operatorname{asin}{\left (\sqrt{\frac{\$_{11} - \$_{21}}{\$_{12} - \$_{21}}} \right )}\right ]$$

Im Folgenden betrachten wir die Ergebnisse bei dem maximalen Verschränkungswert des Quantenspiels ($\gamma = \pi/2 \approx 1.57$):

X1 = np.linspace(-1, 1, 30)
Y1 = np.linspace(-1, 1, 30)
X, Y = np.meshgrid(X1, Y1)
ZA =[]
ZB =[]
for i in Y1:
    ZA1=[]
    ZB1=[]
    for j in X1:
        ZA1.append(re(N(Auszahlung_A_redu(j,i,np.pi/2,Da,Db,Dc,Dd))))
        ZB1.append(re(N(Auszahlung_B_redu(j,i,np.pi/2,Da,Db,Dc,Dd))))
    ZA.append(ZA1)
    ZB.append(ZB1)
ZA=np.array(ZA, dtype=np.float)
ZB=np.array(ZB, dtype=np.float)

figSpielerA = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZA, colorscale='Reds', showscale=False, opacity=0.8)
#figSpielerB = go.Surface(x=X, y=Y, z=ZB, colorscale='Blues', showscale=False, opacity=0.8)

layout = go.Layout( autosize=True,
                   scene_aspectmode='cube',
                  width=800, height=800,
                  margin=dict(l=0, r=0, b=0, t=0),
                   scene = 
                   dict(
                    xaxis_title='tau A',
                    yaxis_title='tau B',
                    zaxis_title='$'))

fig=go.Figure(data=figSpielerA, layout=layout)
fig.show()

Die Resultate zeigen somit, dass durch die quantentheoretische Erweiterung eines Gefangenendilemma-ähnlichen Spiels die Spieler dem Dilemma entkommen können, falls der Wert der Stärke der Verschränkung über einem definierten $\gamma$-Grenzwert liegt. Liegt der $\gamma$-Wert der Strategienverschränkung oberhalb der dem Spiel eigenen $\gamma$-Barriere, so hat sich die klassische dominante Strategie für die Spieler aufgelöst und eine neue vorteilhafte, dominante Strategiekombination ($\widehat{Q}_A,\widehat{Q}_B$) ist für die Spieler entstanden. Da die Projektion dieser dominanten Quantenstrategienkombination ($\widehat{Q}_A,\widehat{Q}_B$) auf den messbaren, realen Raum der klassischen Strategienkombination ($s^A_1,s^B_1$) entspricht, entkommen die Spieler dem Dilemma des Spiels.

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib
from matplotlib import cm
import numpy as np

params = {
    'figure.figsize'    : [14,9],
#    'text.usetex'       : True,
    'axes.titlesize' : 14,
    'axes.labelsize' : 18,  
    'xtick.labelsize' : 14 ,
    'ytick.labelsize' : 14 
}
matplotlib.rcParams.update(params) 

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(X, Y, ZA, cmap=cm.Reds, linewidth=0, alpha=1)
#ax.plot_surface(X, Y, ZB, cmap=cm.Blues, linewidth=0, alpha=1)
ax.view_init(azim=65, elev=45)
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=10)
ax.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax.set_zlabel(r"${\bf \tilde{\cal \$}}^A(\tau_A,\tau_B)$");

Neben diesem exemplarischen Beispiel eines dominanten Quantenspiels können im Allgemeinen die folgenden Aussagen bewiesen werden:

Die quantentheoretische Erweiterung eines dominanten, symmetrischen (2 Personen)-(2 Strategien) Spiels mit Dilemma löst das zugrundeliegende Dilemma des Spiels ab einer definierten $\gamma$-Barriere auf. Die quantentheoretische Erweiterung eines dominanten, symmetrischen (2 Personen)-(2 Strategien) Spiels ohne Dilemma liefert keine weiteren Nash-Gleichgewichte. Die ursprüngliche dominante Strategie des Spiels bleibt auch bei maximaler Strategienverschränkung bestehen.

Um genauer zu verstehen, warum die Spieler in einem Quantenspiel ab einem definierten Wert der Verschränkung dem Dilemma entkommen können, stellen wir uns im Folgenden den messbaren Erwartungswert der Spielerstrategien als Funktion der reduzierten $s_1$-Quantenstrategien $\tau_A$ des Spielers A und $\tau_B$ des Spielers B dar. Im unverschränkten Fall $\gamma=0$ erhält man:

def Messure(taua,taub,entangle):
  if taua>=0 and taub>=0:
    M_11=P_11.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_12=P_12.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_21=P_21.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_22=P_22.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
  if taua>=0 and taub<0:
    M_11=P_11.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_12=P_12.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_21=P_21.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_22=P_22.subs([(ta,taua*pi),(pa,0),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
  if taua<0 and taub>=0:
    M_11=P_11.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_12=P_12.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_21=P_21.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
    M_22=P_22.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,taub*pi),(pb,0),(gam,entangle)])
  if taua<0 and taub<0:
    M_11=P_11.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_12=P_12.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_21=P_21.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
    M_22=P_22.subs([(ta,0),(pa,-taua*pi/2),(tb,0),(pb,-taub*pi/2),(gam,entangle)])
  return M_11,M_12,M_21,M_22

import matplotlib.gridspec as gridspec
params = {
    'figure.figsize'    : [17,12],
#    'text.usetex'       : True,
    'axes.titlesize' : 14,
    'axes.labelsize' : 16,  
    'xtick.labelsize' : 14 ,
    'ytick.labelsize' : 14 
}
matplotlib.rcParams.update(params) 

setgamma=0
X1 = np.linspace(-1, 1, 30)
Y1 = np.linspace(-1, 1, 30)
X, Y = np.meshgrid(X1, Y1)
ZM_11 =[]
ZM_12 =[]
ZM_21 =[]
ZM_22 =[]
for i in Y1:
    Z1M_11 =[]
    Z1M_12 =[]
    Z1M_21 =[]
    Z1M_22 =[]
    for j in X1:
        Z1M_11.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[0])))
        Z1M_12.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[1])))
        Z1M_21.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[2])))
        Z1M_22.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[3])))
    ZM_11.append(Z1M_11)
    ZM_12.append(Z1M_12)
    ZM_21.append(Z1M_21)
    ZM_22.append(Z1M_22)
ZM_11 = np.array(ZM_11, dtype=np.float)
ZM_12 = np.array(ZM_12, dtype=np.float)
ZM_21 = np.array(ZM_21, dtype=np.float)
ZM_22 = np.array(ZM_22, dtype=np.float)

fig = plt.figure()
#G = gridspec.GridSpec(3, 2)
G = gridspec.GridSpec(2, 3, width_ratios=[1,1,1], wspace=0.25)

ax1 = fig.add_subplot(G[0,0], projection='3d')
ax1.plot_surface(X, Y, ZM_11, cmap=cm.Reds, linewidth=0, alpha=1)
ax1.view_init(azim=65, elev=45)
ax1.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax1.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax1.set_zlabel(r"${ P_{11}}$");

ax2 = fig.add_subplot(G[0,1], projection='3d')
ax2.plot_surface(X, Y, ZM_12, cmap=cm.Oranges, linewidth=0, alpha=1)
ax2.view_init(azim=65, elev=45)
ax2.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax2.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax2.set_zlabel(r"${ P_{12}}$");

ax3 = fig.add_subplot(G[1,0], projection='3d')
ax3.plot_surface(X, Y, ZM_21, cmap=cm.Greens, linewidth=0, alpha=1)
ax3.view_init(azim=65, elev=45)
ax3.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax3.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax3.set_zlabel(r"${ P_{21}}$");

ax4 = fig.add_subplot(G[1,1], projection='3d')
ax4.plot_surface(X, Y, ZM_22, cmap=cm.Blues, linewidth=0, alpha=1)
ax4.view_init(azim=65, elev=45)
ax4.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax4.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax4.set_zlabel(r"${ P_{22}}$");

ax5 = fig.add_subplot(G[0,2], projection='3d')
ax5.plot_surface(X, Y, ZM_11 + ZM_12, cmap=cm.OrRd, linewidth=0, alpha=1)
ax5.view_init(azim=65, elev=45)
ax5.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax5.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax5.set_zlabel(r"${ P_{11} + P_{12}}$");

ax6 = fig.add_subplot(G[1,2], projection='3d')
ax6.plot_surface(X, Y, ZM_22 + ZM_21, cmap=cm.GnBu, linewidth=0, alpha=1)
ax6.view_init(azim=65, elev=45)
ax6.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax6.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax6.set_zlabel(r"${ P_{22} + P_{21}}$");

plt.show()

Die oberen Abbildungen zeigen die Erwartungswerte $P_{11},P_{12},P_{21},P_{22}$ der Spielerstrategien und zusätzlich auf der rechten Seite $P_{11}+P_{12}$ und $P_{21}+P_{22}$. Man erkennt deutlich, dass im Bereich $\tau_A \in [0,1]$ die klassischen gemischten Strategien abgebildet werden und die Quantenstrategie $\tau_A \in [-1,0]$ keinen Einfluss auf die messbare Strategienwahl hat.

Wir betrachten nun den maximal verschränkten Fall $\gamma=\pi/2$:

setgamma=np.pi/2
X1 = np.linspace(-1, 1, 30)
Y1 = np.linspace(-1, 1, 30)
X, Y = np.meshgrid(X1, Y1)
ZM_11 =[]
ZM_12 =[]
ZM_21 =[]
ZM_22 =[]
for i in Y1:
    Z1M_11 =[]
    Z1M_12 =[]
    Z1M_21 =[]
    Z1M_22 =[]
    for j in X1:
        Z1M_11.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[0])))
        Z1M_12.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[1])))
        Z1M_21.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[2])))
        Z1M_22.append(re(N(Messure(j,i,setgamma)[3])))
    ZM_11.append(Z1M_11)
    ZM_12.append(Z1M_12)
    ZM_21.append(Z1M_21)
    ZM_22.append(Z1M_22)
ZM_11 = np.array(ZM_11, dtype=np.float)
ZM_12 = np.array(ZM_12, dtype=np.float)
ZM_21 = np.array(ZM_21, dtype=np.float)
ZM_22 = np.array(ZM_22, dtype=np.float)

fig = plt.figure()
#G = gridspec.GridSpec(3, 2)
G = gridspec.GridSpec(2, 3, width_ratios=[1,1,1], wspace=0.25)

ax1 = fig.add_subplot(G[0,0], projection='3d')
ax1.plot_surface(X, Y, ZM_11, cmap=cm.Reds, linewidth=0, alpha=1)
ax1.view_init(azim=65, elev=45)
ax1.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax1.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax1.set_zlabel(r"${ P_{11}}$");

ax2 = fig.add_subplot(G[0,1], projection='3d')
ax2.plot_surface(X, Y, ZM_12, cmap=cm.Oranges, linewidth=0, alpha=1)
ax2.view_init(azim=65, elev=45)
ax2.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax2.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax2.set_zlabel(r"${ P_{12}}$");

ax3 = fig.add_subplot(G[1,0], projection='3d')
ax3.plot_surface(X, Y, ZM_21, cmap=cm.Greens, linewidth=0, alpha=1)
ax3.view_init(azim=65, elev=45)
ax3.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax3.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax3.set_zlabel(r"${ P_{21}}$");

ax4 = fig.add_subplot(G[1,1], projection='3d')
ax4.plot_surface(X, Y, ZM_22, cmap=cm.Blues, linewidth=0, alpha=1)
ax4.view_init(azim=65, elev=45)
ax4.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax4.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax4.set_zlabel(r"${ P_{22}}$");

ax5 = fig.add_subplot(G[0,2], projection='3d')
ax5.plot_surface(X, Y, ZM_11 + ZM_12, cmap=cm.OrRd, linewidth=0, alpha=1)
ax5.view_init(azim=65, elev=45)
ax5.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax5.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax5.set_zlabel(r"${ P_{11} + P_{12}}$");

ax6 = fig.add_subplot(G[1,2], projection='3d')
ax6.plot_surface(X, Y, ZM_22 + ZM_21, cmap=cm.GnBu, linewidth=0, alpha=1)
ax6.view_init(azim=65, elev=45)
ax6.set_xlabel(r"$\rm \tau_A$")
ax6.set_ylabel(r"$\rm \tau_B$")
ax6.set_zlabel(r"${ P_{22} + P_{21}}$");

plt.show()

Die oberen Abbildungen zeigen wieder die Erwartungswerte $P_{11},P_{12},P_{21},P_{22}$ der Spielerstrategien und zusätzlich auf der rechten Seite $P_{11}+P_{12}$ und $P_{21}+P_{22}$, wobei nun der maximal verschränkte Fall ($\gamma=\pi/2$) betrachtet wird. Man erkennt deutlich, dass die Erwartungswerte sich nun in der Quantenbereichen ($\tau_A \in [-1,0]$ bzw. $\tau_A \in [-1,0]$) unterscheiden. Wählen die Spieler z.B. $(\tau_A,\tau_B)=(-1,-1)$, so bedeutet dies (man misst den Zwei-Spielerzustand) das beide Spieler die Strategie 1 spielen ($P_{11}=1$). Wählt hingegen Spieler B die klassische Strategie 2 ($\tau_B=1$) und Spieler A die Quantenstrategie ($\tau_A=-1$), so bedeutet dies das Spieler B die Strategie 1 und Spieler A die Strategie 2 spielt ($P_{21}=1$). Im verschränktem System kann die von Spieler A gewählte Quantenstrategie auf die Strategie von Spieler B einwirken und diese verändern.

Die Resultate für symmetrische (2 Personen)-(2 Strategien) Quantenspiele von Spielklassen der Koordinations- und Anti-Koordinationsspiele finden sie unter dem Teil 3 der Vorlesung bzw. in dem Maple-Worksheet: Symmetrische (2x2)-Quantenspiele.