Vorlesung 1

In der ersten Vorlesung werden die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wiederholt und es wird einen kurzen Überblick der Inhalte der gesamten Vorlesung geben.
A. Einstein stellte im Jahre 1915 seine revolutionäre allgemeinen Relativitätstheorie der wissenschaftlichen Öffentlichkeit vor. Seine Feldgleichungen leitete er mittels eines allgemeinen Kovarianzprinzips her und in Einstein, A. 1915, Preuss. Akad.Wiss. Berlin, Sitzungsber., 778-786 schrieb er über seine Theorie "Dem Zauber der Theorie wird sich kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat;...". Die Schönheit der Einstein Gleichung liegt neben ihrem zugrunde liegenden Kovarianzprinzip in der Einfachheit ihrer fundamentalen Aussage. Nach Einstein verbiegt jede Energieansammlung die Struktur der Raumzeit und diese gekrümmte Raumzeit ist der ursächliche Grund der Gravitation. Nach Einstein fällt der Apfel vom Baum zu Boden, da der große Energiegehalt der Erde die raumzeitliche Struktur so stark verbiegt, dass der Apfel sich in dieser gekrümmten Raumzeit nach geodätischen Gesetzen zu Boden bewegen muss.

Es werden im folgenden die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie und im Besonderen die Einsteingleichung \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R ~=~ -8 \pi \, T_{\mu\nu} \] und die Geodatengleichung \[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\tau} \frac{d x^\rho}{d\tau} ~=~ 0 \] als bekannt vorausgesetzt. Die griechischen, raumzeitlichen Indices $ \mu, \nu, \rho ... $ laufen von 0..3, wobei, falls nicht anders angegeben, diese den folgenden kartesischen Raumzeitkoordinaten entsprechen: $ x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t, x, y, z \right)$. Grundlegende Größen der allgemeinen Relativitätstheorie (z.B. die Metrik der Raumzeit, Christoffel Symbole, Ricci- und Einstein-Tensor) werden am Beispiel einer allgemeinen statischen und isotropen Raumzeit in Maple berechnet. Wir definieren z.B. die kovariante Metrik einer allgemeinen statischen, isotropen Raumzeit $ g_{\mu\nu} $, wobei wir ein sphärisches Koordinatensystem benutzen: \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} A(r) & 0 & 0 & 0\\ 0& -B(r)& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] , wobei $x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$. Wie sehen die Christoffel Symbole (erste Art $\Gamma_{\mu \nu \rho}$, vollständig kontravariante Form) \[ \Gamma_{\mu \nu \rho} = \frac{1}{2} \left( \partial_{\!\!\;\mu} g_{\nu \rho} + \partial_{\!\!\;\nu} g_{\mu \rho} - \partial_{\!\!\;\rho} g_{\mu \nu} \right) = \frac{1}{2} \left( g_{\nu \rho |\mu} + g_{\mu \rho |\nu} - g_{\mu \nu |\rho} \right) \] , (zweite Art $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$) \[ \Gamma^\mu_{\nu\rho} = g^{\mu\delta} \Gamma_{\nu \rho \delta} = \frac{1}{2} g^{\mu\delta} \left( g_{\delta \nu |\rho} + g_{\delta \rho |\nu} - g_{\nu \rho |\delta} \right) \] , der Riemann Tensor $R{^\mu}_{\nu\alpha\beta}$, \[ R{^\mu}_{\nu\alpha\beta} = \Gamma^\mu_{\nu\beta|\alpha} - \Gamma^\mu_{\nu\alpha|\beta} + \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - \Gamma^\mu_{\lambda\beta} \Gamma^\lambda_{\nu\alpha} \] , der Ricci Tensor $R_{\mu\nu}= g^{\alpha\beta} R_{\alpha\mu\beta\nu}$ und der Ricci Skalar $R=g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ aus?
Mit den Computeralgebra-Systemen Maple und Mathematica und der Programmiersprache Python lassen sich auch komplizierte Berechnungen im Bereich der allgemeinen Relativitätstheorie einfach berechnen (siehe linkes Panel dieser Vorlesung).

Vorlesung 2

In der zweiten Vorlesung werden wir die wohl bekannteste analytische Lösung der Einsteingleichung betrachten - die sogenannte Schwarzschild-Lösung. Bereits einige Monate nach der Publikation von Einsteins Artikel zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Jahre 1915, erarbeitete Karl Schwarzschild in zwei Arbeiten mögliche analytische Lösungen der neuen Theorie der Raumzeitkrümmung. In der ersten dieser Arbeiten ("über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", siehe Schwarzschild, K., Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Reimer, Berlin 1916, S. 189-196) betrachtete Herr Schwarzschild die Einstein-Gleichung für den freien, leeren Raum ($T_{\mu\nu}=0 \quad \rightarrow \quad R_{\mu\nu}=0$), wobei er annahm, dass sich die gesamte Materie/Energie in einem singulären Punkt im Ursprung befindet (Massenpunkt der Masse $M$). Die so von ihm gefundene Lösung der resultierenden Feldgleichungen ist heutzutage unter dem Namen Schwarzschild-Metrik bekannt und lautet: \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} 1-\frac{2\,M}{r} & 0 & 0 & 0\\ 0& -\frac{1}{1-\frac{2\,M}{r}}& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] , wobei wir ein sphärisch symmetrisches Koordinatensystem benutzt wurde ($x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$). Diese Lösung ist von besonderer Bedeutung für astrophysikalische Betrachtungen, denn sie beschreibt einerseits die Metrik eines nicht-rotierenden schwarzen Lochs und andererseits, aufgrund des Birkhoff-Theorem, die Metrik außerhalb eines einzelnen isolierten, nichtrotierenden Sterns.

Im linken Panel dieser Vorlesung werden im ersten Jupyter Notebook die Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik besprochen und in Raumzeit-Diagrammen visualisiert. Im zweiten Jupyter Notebook wird das Beispiel eines radial in das nicht-rotierende schwarzen Loch einfallenden Probekörpers als nummerische Lösung der Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild Raumzeit berechnet.

Eine gute Verbildlichung der seltsamen Eigenschaften von schwarzen Löchern findet man in der speziellen architektonischen Konstruktion des Berliner Reichstagsgebäudes (siehe Black Holes and the German Reichstag).

Vorlesung 3

Die Geodätengleichung beschreibt wie sich ein Probekörper (Masse Probekörper $m << M$ Masse schwarzes Loch) im Raum bewegt und sagt voraus, dass diese Bewegung sich stets entlang der kürzesten Kurve, in der durch die Metrik beschriebenen gekrümmten Raumzeit, vollzieht. Sie lässt sich demnach durch folgendes Variationsprinzip herleiten: \[ \delta \int_A^B ds= \delta \int_A^B \sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}= \delta \int_A^B \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda = 0 \] , wobei sich dann die Geodätengleichung mittels der Euler-Lagrange Gleichungen $L = \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}$, bzw. alternativ $L = g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}$ ergibt: \[ \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \frac{\partial x^\mu}{\partial \lambda}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x^\mu} = 0 \quad \rightarrow \quad \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} ~=~ 0 \] $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ sind die Christoffel Symbole zweiter Art und $\lambda$ ein affiner Parameter (z.B. die Eigenzeit $\tau$ des Probekörpers).
In der dritten Vorlesung werden wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit näher betrachten, wobei wir wieder ein sphärisches Koordinatensystem benutzen ($x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$). Die Geodätengleichung stellt ein System gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen dar \[ \begin{eqnarray} && \frac{d^2 x^0}{d\lambda^2} = \frac{d^2 t}{d\lambda^2} = - \Gamma^0_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \\ && \frac{d^2 x^1}{d\lambda^2} = \frac{d^2 r}{d\lambda^2} = - \Gamma^1_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 x^2}{d\lambda^2} = \frac{d^2 \theta}{d\lambda^2} = - \Gamma^2_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 x^3}{d\lambda^2} = \frac{d^2 \phi}{d\lambda^2} = - \Gamma^3_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \quad . \end{eqnarray} \] Man kann zeigen (siehe z.B. Seite 206 in General relativity : An introduction for physicists by M. P. Hobson, G. P. Efstathiou and A. N. Lasenby), dass sich die erste und vierte Gleichung dieses Systems von Differentialgleichungen in die folgenden Gleichungen umschreiben lässt: \[ \begin{eqnarray} \hbox{1. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left[ \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} \right] = 0 \\ \rightarrow && \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} = e = \hbox{const} \\ \hbox{4. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left( r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} \right) = 0 \\ \rightarrow && r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} = l = \hbox{const} \end{eqnarray} \] , wobei die während der Bewegungen erhaltenen Größen e (Teilchenenergie pro Masse) und l (Drehimpuls pro Masse m) sich aus der Definition des Viererimpulses $p_\mu = m u_\mu$ ergeben.
Die unterschiedlichen Bahnbewegungen um ein nicht-rotierendes schwarzes Loch lassen sich mittels eines effektiven Potentials klassifizieren (siehe linkes Panel dieser Vorlesung). Die im linken Panel veranschaulichte Abbildungen zeigen das effektive Potential als Funktion des Radius und die möglichen Trajektorien der Probekörper für unterschiedliche Anfangswerte in einem eingebetteten Raumzeit-Diagramm der Schwarzschild-Metrik. Bei der elliptische, roten Bahn erkennt man hierbei gut den allgemein-relativistischen Effekt der Apsidendrehung (Periheldrehung bei der Sonne); d.h. der näheste Punkt (der Perihel) und der am weitesten entfernte Punkt (der Aphel) vom Zentrum des schwarzen Lochs betrachtet, ändert seine Position und rotiert entgegen dem Uhrzeigersinn in $\phi$-Richtung.

Vorlesung 4

In der vorigen Vorlesung hatten wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit betrachtet und gezeigt, wie man eine Klassifizierung möglicher Bahnen von Probekörpern mittels eines definierten effektiven Potentials V(r,M,l) illustrieren kann ($M$ ist die Masse des schwarzen Lochs und l der Bahndrehimpuls pro Masse $m$ des Probekörpers). Eine dieser Bahnen ist von besonderer Bedeutung, die sogenannte innerste stabile kreisförmige Bahnbewegung (der ISCO: Innermost Stable Circular Orbit). Kreisförmige Bahnbewegungen sind dadurch charakterisiert, dass der Wert des Radiuses sich im laufe der Zeit nicht verändert und somit sich der radiale Abstand des Probekörpers vom schwarzen Loch gerade im Minimum des effektiven Potentials befindet. Es muss somit $\frac{dV}{dr}=0$ gelten. Löst man diese Gleichung nach r auf, so erhält man zwei Lösungen, wobei die erste (positives Vorzeichen) dem stabilen Minimum und die zweite (negatives Vorzeichen) dem instabilen Maximum entspricht: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \quad \Rightarrow \, r_\pm = \frac{l}{2 M} \left( l \pm \sqrt{l^2 -12 M^2} \right) \end{eqnarray} $$ Der ISCO hat gerade die Sattelpunkt-Eigenschaft, sodass zusätzlich $\frac{d^2V}{dr^2}=0$ gelten muss. Der Drehimpuls l des Probekörpers und sein radialer Abstand vom schwarzen Loch nehmen die folgenden Werte an: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \,\,,\,\,\, \frac{d^2 V}{dr^2}=0 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{\hbox{ISCO}} r=6 M \,\,,\,\,\, l = 2 \sqrt{3} M \end{eqnarray} $$ Kreisförmige Bewegungen um ein nicht-rotierendes schwarzes Loch sind somit nur bis zu einem Abstand von $r_{\tiny ISCO}=6 M$ möglich. Kommt man dem schwarzen Loch näher, endet man zwangsläufig in der echten Singularität. Dies gilt jedoch nur für massive Probekörper und nicht für masselose Teilchen (z.B. Photonen). Photonenbahnen unterscheiden im Wert des infinitesimalen Weglängenelementes $ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu$. Mittels der Eigenschaft für Photonen $\left( \frac{ds}{d\tau} \right)^2=0$ vereinfacht sich die radiale Gleichung der Geodätengleichung und man kann ein effektives Potential definieren, welches allein von der Masse des schwarzen Lochs abhängt: $$ \begin{eqnarray} && \frac{1}{l^2} \left( \frac{dr}{d\lambda} \right)^2 + V_{\tiny Photon}(r) = \frac{1}{b^2}\\ && V_{\tiny Photon}(r) = \frac{1}{r^2} \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \quad, \end{eqnarray} $$ wobei der Parameter b der Impaktparameter der Photonenbahn darstellt. Dieses Potential besitzt ein Maximum bei $r=3 M$ welches die innerste kreisförmige Photonenbahn darstellt, die sogenannte Photonensphäre eines schwarzen Lochs. Mit $r=3 M$ ist diese nur ein wenig vom Ereignishorizont ($r=2 M$) entfernt.
Im linken Panel dieser Vorlesung werden die besprochenen Grenztrajektorien (ISCO und Photonensphäre) in einer Animation illustriert und die Bedeutung dieser Orbits beim Verständnis des vom Event Horizon Teleskop aufgenommenen Bildes des schwarzen Lochs in M87 erklärt.

Vorlesung 5

In den beiden vorigen Vorlesungen hatten wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Metrik (Raumzeit eines nicht-rotierenden schwarzen Loches) betrachtet und die möglichen Bahnen von Probekörpern und Licht studiert, die Grenz-Orbits des ISCO und der Photonensphäre definiert und die Bedeutung dieser Orbits beim Verständnis des Bildes des schwarzen Lochs in M87 diskutiert. Da dieses schwarze Loch und auch generell die allermeisten durch astrophysikalische Beobachtungen bekannten schwarzen Löcher nicht von statischer Natur sind, werden wir in dieser Vorlesung die Eigenschaften von rotierenden schwarzen Löchern besprechen.
Im Folgenden betrachten wir die Bewegung eines massiven Probekörpers um ein rotierendes schwarzes Loch und lösen die Geodätengleichung in vorgegebener Kerr-Raumzeit (in Boyer-Lindquist Koordinaten). Die kovariante Kerr-Metrik eines rotierenden schwarzen Lochs der Masse M und Rotation a ($ a \in [-1,1]$ ist ein spezifischer Drehimpuls $a=J/M$ und wird als der sogenannte Kerr-Rotationsparameter bezeichnet) besitzt in Boyer-Lindquist Koordinaten folgendes Aussehen: $$ \begin{eqnarray} &g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} g_{tt}(r,\theta) & 0 & 0 & g_{t\phi}(r,\theta)\\ 0& g_{rr}(r,\theta)& 0&0 \\ 0& 0& g_{\theta\theta}(r,\theta)& 0\\ g_{\phi t}(r,\theta)& 0& 0& g_{\phi\phi}(r,\theta)\\ \end{array} \right)& \\ & g_{tt}(r,\theta)=\left( \frac{1-2\,M\,r}{\rho^2} \right)\,\,, \, g_{t\phi}(r,\theta)=\frac{2aMr\hbox{sin}^2(\theta)}{\rho^2} &\\ &g_{rr}(r,\theta)=-\frac{\rho^2}{\Delta}\,\,, \quad g_{\theta\theta}(r,\theta)=-\rho^2\,\,, \, & \\ &g_{\phi\phi}(r,\theta)=-\left( \frac{r^2+a^2+2 M r a^2 \hbox{sin}^2(\theta)}{\rho^2} \right)\hbox{sin}^2(\theta)\,\,,&\\ &\rho^2=r^2+a^2 \hbox{cos}^2(\theta) \,\,, \quad \Delta=r^2-2Mr+a^2& \end{eqnarray} $$ Rotierende schwarze Löcher besitzen, im Gegensatz zu denen in den Vorlesung 3-4 besprochenen nicht-rotierenden schwarzen Löchern, eine Ringsingularität und eine kompliziertere Struktur der Ereignishorizonte. Ereignishorizonte ereignen sich formal an den Raumzeitpunkten, bei denen die radiale Komponente der zugrunde liegenden Metrik singulär wird ($g_{rr}\rightarrow\infty$ (bzw. $g^{rr}=0$). Für $a \neq 0$ erhält man zwei Lösungen, die man gewöhnlich mit den Symbolen $r_{+}$ und $r_{-}$ bezeichnet $$ r_{+}= M + \sqrt{M^2 - a^2}\,, \quad r_{-}= M - \sqrt{M^2 - a^2}\quad, $$ und die für $a = 0$ in den Schwarzschild-Limes des Ereignishorizontes eines nicht-rotierenden schwarzen Lochs übergehen ($a=0 \rightarrow r_{+}=r_{-}=2\,M$). Zusätzlich existieren die Flächen der stationären Grenze (stationary limit surfaces) und die der unendlichen Rotverschiebung; sie sind durch $g_{tt}=0$ bestimmt und werden gewöhnlich mit den Symbolen $r_{S^+}$ und $r_{S^-}$ bezeichnet: $$ r_{S^+}= M + \sqrt{M^2 - a^2{{\rm cos}(\theta)}^2}\,, \,\, r_{S^-}= M - \sqrt{M^2 - a^2{{\rm cos}(\theta)}^2} $$ In dem linken Panel dieser Internetseite ist die Horizontstruktur eines rotierenden schwarzen Lochs bei ansteigendem Kerr-Rotationparameter $a$ in einer Animation veranschaulicht.
Ein rotierendes schwarzes Loch zieht die Raumzeit mit sich mit. Die Rotationsfrequenz mit der die raumzeitlichen Struktur mitgeführt wird, nennt man ''Frame dragging'' Frequenz $\omega$; sie beschreibt wie viel sich die $\phi$-Koordinate pro Koordinatenzeit $t$ verändert: $$ \begin{equation} \omega(r,\theta)=\frac{d\phi}{dt} = \frac{\frac{d\phi}{d\tau}}{\frac{dt}{d\tau}} = \frac{u^\phi}{u^t} = \frac{g^{t\phi}}{g^{tt}} \end{equation} $$ Die möglichen Bewegungen von Probekörpern um ein rotierendes schwarzes Loch kann man sich wieder mithilfe eines effektiven Potentials illustrieren (siehe z.B. Hartle- bzw. Hobson Buch). In ähnlicher Weise wie in der Vorlesung 3 beschränken wir uns im Folgenden auf äquatoriale Bewegungen, schreiben das System der gekoppelten Differentialgleichungen der Geodätengleichung um und betrachten die zweite, radiale Gleichung. Das effektive Potential hängt von dem, bei der Bewegung erhaltenem Drehimpuls pro Masse $l$ und von der Probekörper-Energie pro Masse $e$ ab. Die im Zentralfeld möglichen Bewegungen werden mittels dieser zwei erhaltenen Größen charakterisiert: \[ \begin{eqnarray} &\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + V(r,a,l,e) = \frac{1}{2} \left( e^2 -1 \right)& \\ & V(r,a,l,e) \,=\, -\frac{M}{r} + \frac{l^2 - a^2 \left( e^2 -1 \right)}{2\, r^2} - \frac{M \left( l - a\,e \right)^2}{r^3} & \end{eqnarray} \] Die Bewegungen von Probekörpern ist aufgrund des ''Frame dragging'' Effekts unterschiedlich zu den Trajektorien um ein nicht-rotierendes schwarzes Loch und bei rotierenden schwarzen Löchern gibt es zwei unterschiedliche Grenzen der Stabilität von kreisförmigen Trajektorien (zwei ISCOs, siehe Animation im rechten Panel dieser Vorlesung). Die ''Frame dragging'' Frequenz wirkt in ähnlicher Weise auf die Geschwindigkeit von Probekörpern, wie das Magnetfeld in der Elektrodynamik die Lorentzkraft verursacht und die entstehende Kraft wird deshalb auch als Gravitomagnetische Kraft bezeichnet. In erster Näherung (siehe Fließbach Buch, S:172) ist die gravitomagnetische Kraft gleich $ \sim 2\,\left( {\bf \omega} \times {\bf v} \right) $, wobei $ \times $ das Kreuzprodukt, $ {\bf \omega} $ der axiale Vektor der "Frame dragging" Frequenz und $ {\bf v} $ der Geschwindigkeitsvektor des Probekörpers ist. Die Änderung des Geschwindigkeitsvektors nimmt in dieser Schwachfeldnäherung dann die folgende Gestalt an: \[ \begin{eqnarray} \frac{d{\bf v}}{d\tau} &=& \underbrace{-\hbox{grad}\, \Phi({\bf r})}_{\hbox{gewöhnlicher Teil der gravitativen Kraft}} +\\ && \\ && + \underbrace{2\, {\bf \omega}({\bf r}) \times {\bf v}}_{\hbox{gravitomagnetische Lorentzkraft}} \,\,+ {\cal O}(v^2/c^2)\,\,, \end{eqnarray} \] wobei $\Phi({\bf r})$ das Newtonsche Gravitationspotential und ${\bf v}=(v^r,v^\theta,v^\phi)$ der Geschwindigkeitsvektor des Probekörpers ist. Die gravitomagnetische Kraft und der Mitführungs-Effekt der Raumzeit (Frame-Dragging-Effekt, bzw. Lense-Thirring-Effekt) ist eine generelle Eigenschaft von rotierenden Körpern in der allgemeinen Relativitätstheorie, die in der Newtonschen Gravitationstheorie nicht auftritt und auch bei langsam rotierenden Körpern existent ist. Das Frame-Dragging konnte im Jahre 2004 mittels der NASA Satelliten-Mission Gravity Probe B am Beispiel des durch die Erdrotation verursachten Mitführungs-Effekt der Raumzeit experimentell nachgewiesen werden (siehe auch Gravity Probe B: Testing Einstein's Universe und linkes Panel dieser Vorlesung).

Vorlesung 6

Bis zu dieser Vorlesung hatten wir die raumzeitliche Struktur der Metrik als gegeben vorausgesetzt (Schwarzschild-Metrik bzw. Kerr-Metrik) und die Bewegungen von Probekörpern, im sonst materiefreien Raum, mittels der Geodätengleichung studiert. In dieser Vorlesung betrachten wir den umgekehrten Fall: Wie kann man anhand einer speziellen Materie/Energieverteilung im Raum zu der zugehörigen raumzeitliche Struktur gelangen. Wir betrachten im Folgenden ein statisches, sphärisch symmetrisches Objekt (in Näherung z.B. die Erde, Sonne oder ein Neutronenstern) und setzen die Metrik im Inneren wie folgt an: $$g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} e^{2\Phi(r)} & 0 & 0 & 0\\ 0& - \left( 1 - \frac{2 m(r)}{r} \right)^{-1}& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktionen $\phi(r)$ und $m(r)$ an dieser Stelle noch unbekannt sind, später aber eine physikalische Bedeutung erhalten. Die Materie setzen wir als eine ideale Flüssigkeit mit folgendem Energie-Impuls Tensor an: $$ T^\mu{}\!_\nu=\left( \begin{array}{ccc} e(r) & 0 & 0 & 0\\ 0& -p(r)& 0&0 \\ 0& 0& -p(r)& 0\\ 0& 0& 0& -p(r)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktionen $e(r)$ und $p(r)$ die Energiedichte und den Druck der Materie darstellen. Die raumzeitliche Struktur im Inneren der Materie erhält man mittels der Einstein Gleichung $$ G^\mu{}\!_\nu = R^\mu{}\!_\nu - \frac{1}{2}g^\mu{}\!_\nu R = 8\pi T^\mu{}\!_\nu \quad,$$ die im betrachteten Fall ein System von vier gekoppelten Differentialgleichungen darstellt. Zusätzlich folgt aus der Einsteingleichung die kovariante Erhaltung des Energie-Impulses. Diese sogenannten hydrodynamischen Gleichungen sind durch die folgenden vier Gleichungen definiert: $$ \nabla\!_\mu G^\mu{}\!_\nu = 0 \quad \rightarrow \quad \nabla\!_\mu T^\mu{}\!_\nu = 0 \quad , $$ wobei die kovariante Ableitung eines Tensors zweiter Stufe wie folgt definiert ist: $$ \nabla\!_\alpha T^\mu{}\!_\nu = \partial_\alpha T^\mu{}\!_\nu + \Gamma^\mu_{\alpha \rho} T^\rho{}\!_\nu - \Gamma^\rho_{\alpha \nu} T^\mu{}\!_\rho \quad . $$ Durch Umschreiben und Kombination der Gleichungen gelangt man zu einem System von drei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung, die sogenannten Tolman-Oppenheimer-Volkoff (TOV) Gleichungen: $$ \begin{eqnarray} \frac{dm}{dr} &=& 4\pi r^2~e(r) ~, \\ \frac{d\Phi}{dr} &=& \frac{m(r)+4 \pi r^3 p(r)}{r \left(r - 2m(r) \right)} ~, \\ \frac{dp}{dr} &=& -(e(r)+p(r)) \frac{d\Phi}{dr} \end{eqnarray} $$ Die Funktion $m(r)$, welche die $g_{rr}$-Komponente der Metrik bestimmt, erhält nun ihre physikalische Bedeutung. Integriert man vom Zentrum des betrachteten Objektes die erste der TOV-Gleichungen bis zu einem Radius $r$, so beschreibt $m(r)$ den, in dieser Kugel enthaltenen, Massen/Energiebetrag $\left( m(r)=\int_0^r 4\pi \tilde{r}^2~e(\tilde{r}) \, d\tilde{r} \right)$. Die gesamte gravitativ wirkende Masse des Objektes erhält man, indem man bis zum Rand des Objektes bei $r=R$ integriert $\left( M = m(R)=\int_0^R 4\pi \tilde{r}^2~e(\tilde{r}) \, d\tilde{r} \right)$. Um die TOV-Gleichungen numerisch lösen zu können benötigt man noch die Zustandsgleichung der Materie (eine Funktion $p(e)$). Auf der linken Seite dieser Internetseite wird in einem Jupyter Notebook die analytische Herleitung der TOV-Gleichungen und deren numerische Lösung für Neutronenstern-Materie behandelt.

Vorlesung 7

Die in der vorigen Vorlesung besprochenen TOV-Gleichungen wurden im Jahre 1939 in den folgenden zwei Arbeiten publiziert: Tolman, Richard C. "Static solutions of Einstein's field equations for spheres of fluid." Physical Review 55.4 (1939): 364. und Oppenheimer, J. Robert, and George M. Volkoff. "On massive neutron cores." Physical Review 55.4 (1939): 374.. Es ist beachtlich, dass Karl Schwarzschild bereits im Jahre 1916 einen wichtigen Spezialfall der TOV-Gleichungen analytisch berechnete. Herr Schwarzschild betrachtete einen sphärisch symmetrischen Körper mit konstanter Dichte (siehe Karl Schwarzschild, "Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit", Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Reimer, Berlin 1916, S:424-434) und berechnete die Eigenschaften dieses Körpers in der Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie. In seiner Arbeit zeigte er, dass eine solche Kugel nicht kleiner als $\frac{9}{8}$ seines Schwarzschildradius werden kann ($R > \frac{9}{8}R_S$), da sonst der Druck im Zentrum des Körpers unendlich wird. Hans Adolf Buchdahl gelang es dann im Jahre 1959 zu zeigen, das dieser Wert eine absolute Grenze der Stabilität von Körpern/Sternen darstellt, die sogenannte "Buchdahl Grenze" ( siehe Buchdahl, Hans A. "General relativistic fluid spheres." Physical Review 116.4 (1959): 1027. ). Die einzige Ausnahme sind die sogenannten "Gravastars", die auch kleiner als diese Grenze werden können. Diese besitzen jedoch einen Bereich im Stern, der eine negative Energiedichte aufweist. Im linken Panel dieser Vorlesung wird die von Schwarzschild gefundene Lösung analytisch hergeleitet und die Ergebnisse numerisch überprüft.

Die numerische Lösung der TOV-Gleichungen hatten wir bisher stets mittels der in Python vordefinierten Funktion "odeint()" berechnet. Man kann die numerische Lösung jedoch auch mittels eines einfachen iterativen Verfahrens berechnen, das sogenannte "Euler Verfahren". In diesem Verfahren schreibt man die TOV-Gleichungen wie folgt um $$ \begin{eqnarray} dm &=& 4\pi r^2 e \, dr \\ dp &=& -(e+p) \, \frac{m+4 \pi r^3 p}{r \left(r -2m \right)} \, dr \\ d\Phi &=& \frac{m+4 \pi r^3 p}{r \left(r -2m \right)} \, dr \quad , \end{eqnarray} $$ und geht nach folgendem Schema vor:

• Man definiert die Zustandsgleichung der Sternmaterie als eine Funktion e(p).
• Man startet im Sternzentrum und legt den Wert der zentralen Energiedichte und des zentralen Druckes fest. Da die TOV Gleichung bei $r=0$ singulär sind, wählt man hier einen sehr, sehr kleinen Wert (z.B. $r=10^{-14}$).
• Die TOV Gleichungen werden als Differenzengleichungen umgeschrieben und eine kleine Schrittweite $dr=\Delta r << 1$ wird festgelegt. In einer Schleife wird dann in jedem Radius-Schritt die Druck-, Massen- und $\Phi$-Änderungen berechnet ($\Delta p$, $\Delta m$ und $\Delta \Phi$) und die jeweiligen Größen beim nächsten Schritt um diesen Faktor erhöht bzw. verringert:
• Im Laufe der iterativen Lösung verringert sich der Druck ständig. Die Schleife wird so lange ausgeführt bis der Wert des Druckes gleich null bzw. negativ wird, da an der Sternoberfläche der Druck verschwindet.

Vorlesung 8

In dieser Vorlesung werden wir uns mit dem Programmierparadigma der parallelen Programmierung befassen. Wie schon am Ende der vorigen Vorlesung erwähnt, ist es bei der Konzeption von rechenintensiven Computerprogrammen wichtig, dass die Rechenleistung des Computers stets voll ausgelastet ist und separate, voneinander unabhängige Teilaufgaben innerhalb der Programme möglichst gleichzeitig (parallel) berechnet werden. Da die meisten der großen Computerprogramme im Bereich der Allgemeinen Relativitätstheorie in der Programmiersprache C/C++ geschrieben sind, werden wir die parallele Programmierung im Folgenden am Beispiel dieser Programmiersprache verdeutlichen. Die Parallelisierung eines Python-Programms ist aber natürlich auch möglich und kann z.B. mittels des Python-Moduls (threading oder multiprocessing) implementiert werden, bzw. unter Zuhilfenahme von MPI for Python realisiert werden.
Die Programmiersprachen C/C++ und Python unterscheiden sich voneinander und bei der Erstellung der Quelldateien (source codes) eines C++ Programms ist einiges zu beachten. Jede Variable, die im Programm benutzt wir muss zunächst mit einem Typ deklariert werden (z.B. "int" für eine ganze Zahl, oder "double" für eine Fließkommazahl), mit dem Präprozessorbefehl "#include" bindet man benötigte "Header-Dateien" in das Programm ein (ähnlich den Python Bibliotheken/Modulen), die Strukturierung eines C++ Programms benötigt nicht die in Python verwendete Block-Einrückung (z.B. bei for-Schleifen), sondern verwendet geschweifte Klammern und in C/C++ muss man den Quelltext mittels eines Kompilierers in ein ausführbares Programm umwandeln.
Die Art und Weise wie das parallele Programm zu konzipieren ist, hängt von der zugrundeliegenden Rechnerarchitektur des ausführenden Computers ab und man unterscheidet hier grob:

• "Shared Memory" Mehrprozessorsysteme: Mehrere Prozessoren eines Computers teilen sich einen gemeinsamen Arbeitsspeicher (RAM).
• "Distributed Memory" Mehrprozessorsysteme: Bei Hochleistungs-Großrechenanlagen sind mehrere Mehrprozessor-Computer zu Computer-Clustern verbunden, wobei jeder Computer seinen eigenen privaten Arbeitsspeicher hat.

Vorlesung 9

In den bisherigen Vorlesungen, sowohl bei der Analyse der Bewegungen um ein rotierendes/nicht-rotierendes schwarzes Loch als auch bei der Berechnung der Eigenschaften von Neutronensternen, hatten wir zeitunabhängige Raumzeiten betrachtet. Die zugrundeliegende Metrik $g_{\mu\nu}$ der betrachteten 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\cal M}$ veränderte sich nicht mit der Zeit und hatte eine vorgegebene räumliche Symmetrie. In dieser und der folgenden Vorlesung wird es einen Einblick in eine Softwareplattform geben (das sogenannte Einstein Toolkit) mit der man zeitabhängige allgemein-relativistische Berechnungen, wie z.B. die Kollision zweier Neutronensterne durchführen kann. Realistische astrophysikalische Computersimulationen müssen die Einstein- und die zugehörigen hydrodynamischen Gleichungen ohne spezielle Symmetrie-Annahmen zeitabhängig lösen. Um dies auf dem Computer zu realisieren, ist es nötig die zugrundeliegenden Gleichungen umzuschreiben. Diese Neuformulierung der Einsteingleichung benutzt den sogenannten ($3+1$)-Split und teilt mit diesem die 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\cal M}$ in 3-dimensionale raumartige Hyperflächen $\Sigma_t$ auf. Die Raumzeit Metrik $g_{\mu\nu}$ wird dadurch in eine rein räumliche Metrik $\gamma_{ij}$, eine Lapse-Funktion $\alpha$ und einen Verschiebungsvektor $\beta_i$ (Shift-Vektor) unterteilt ($i=1,2,3$): \[ \begin{equation} g_{\mu\nu} ~=~ \begin{pmatrix} -\alpha^2+\beta_i\beta^i & \beta_i \\ \beta_i & \gamma_{ij} \end{pmatrix} \end{equation} \] Die Lapse-Funktion $\alpha$ beschreibt die Differenz zwischen der Koordinatenzeit $t$ und der Eigenzeit $\tau$ eines Teilchens ($d\tau=\alpha ~ dt $). Der Verschiebungsvektor $\beta_i$ misst, wie die Koordinaten auf der raumartigen Hyperfläche $\Sigma_t$ verschoben werden, wenn sich das Teilchen einen infinitesimalen Zeitschritt weiter bewegt. Durch Einfügen dieses Ansatzes der Metrik in die Einstein Gleichung kann man die Gleichungen in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung umformulieren -- die sogenannten ADM-Gleichungen (benannt nach seinen Autoren Richard Arnowitt, Stanley Deser und Charles W. Misner). Da die ADM Gleichungen nicht ''well posed'' sind und sich kleine nummerische Störungen exponentiell aufschaukeln könnten, muss man diese noch weiter mittels einer konformen Transformation der Metrik umschreiben. Die Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura-Oohara-Kojima (BSSNOK) - Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie (oder alternativ die CCZ4-Formulierung) ist zusammen mit den relativistischen hydrodynamischen Gleichungen (unter Verwendung der Valencia-Formulierung) als Grundgleichungen in der Softwareplattform Einstein Toolkit implementiert. Das Programm benötigt die vom Benutzer spezifizierte Anfangshyperfläche $\Sigma_0$ und rechnet dann iterativ in Zeitabschnitten $dt$ die dynamische Evolution des betrachteten Systems. Die untere Abbildung visualisiert das besprochene Konzept der ($3+1$) Zerlegung der Raumzeit (Credits: L. Rezzolla, O. Zanotti: Relativistic Hydrodynamics, Oxford Univ. Press (2013)).

Vorlesung 10

Am Ende der vorigen Vorlesung wurden die mittels der Gravitationswellen Detektoren beobachteten Gravitationswellen diskutiert. Zwei (vielleicht drei) der detektierten Gravitationswellen stammen von Neutronenstern Kollisionen (siehe GW170817, GW190425 und vielleicht GW190814). Mittels der in dieser und der vorigen Vorlesung dargestellten Softwareplattform Einstein Toolkit können z.B. auch binäre Neutronenstern Kollisionen auf dem Computer simuliert werden und man kann die berechneten Ergebnisse mit den astrophysikalisch observablen Größen der beobachteten Gravitationswellen der Neutronenstern Kollisionen vergleichen. Mittels einer solchen Analyse wird es in naher Zukunft möglich sein die Eigenschaften der elementaren Materie mittels der Gravitationswellen Detektoren zu studieren (z.B. die Eigenschaften, des von der Quantenchromodynamik vorhergesagten Hadron-Quark Phasenübergangs). Eine Kollision zweier Neutronensterne lässt sich in einzelne Phasen gliedern und das untere Video illustriert die unterschiedlichen Phasen einer binären Neutronenstern Kollision und die Dynamik des entstehenden hypermassiven Neutronensterns anhand eines Sammelsurium einzelner klassischer Tänze.

Die einzelnen Phasen werden z.B. in M.Hanauske and H.Stöcker, ''Binary Compact Star Mergers and the Phase Diagram of Quantum Chromodynamics'', Discoveries at the Frontiers of Science, Springer (2020) beschrieben. Die in dem Video verwendete Zustandsgleichung ermöglicht leider eine nur kurze Diskofox Phase, da die für diese Phase nötige ''double core'' Struktur des hypermassiven Neutronensterns nur kurz nach der Kollision auftritt. Unter Verwendung von anderen Zustandsgleichung kann die Diskofox Phase länger erhalten bleiben (siehe z.B. zweiter Tanz). Im linken Panel dieser Vorlesung werden die Simulationsergebnisse von Neutronenstern Kollisionen visualisiert und analysiert. Anhand der emittierten Gravitationswelle kann man die Eigenschaften der elementaren Materie bei hohen Dichten und Temperaturen studieren.

Vorlesung 11 - 14

Studentische Projekte

Die studentischen Projekte können alleine oder in Gruppen (bis zu vier Personen) durchgeführt werden. Under construction ...