Vorlesung 1

In der ersten Vorlesung werden die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie wiederholt und es wird einen Überblick der Inhalte der gesamten Vorlesung geben. Die grundlegenden Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie und im besonderen die Einsteingleichung und die Geodatengleichung werden kurz wiederholt. Die Eigenschaften von schwarzen Löchern werden anschaulich illustriert und das erste Bild des schwarzen Lochs im Zentrum unserer Nachbargalaxie M87 wird diskutiert. Gravitationswellen, verursacht durch Kollisionen von schwarzen Löchern und Neutronensternen werden seit ca. 5 Jahren mittels der Gravitationswellen Detektoren Ligo und Virgo beobachtet. Am Ende wird es eine kurze Einfürung in das Computeralgebra-System Maple geben mit welchem wir in Teil 1 einfache Probleme der allgemeinen Relativitätstheorie berechnen und simulieren werden.

Vorlesung 2

Es werden im folgenden die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie und im besonderen die Einsteingleichung \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R ~=~ -8 \pi \, T_{\mu\nu} \] und die Geodatengleichung \[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\tau} \frac{d x^\rho}{d\tau} ~=~ 0 \] als bekannt vorausgesetzt. Die griechischen, raumzeitlichen Indices $ \mu, \nu, \rho ... $ laufen von 0..3, wobei, falls nicht anders angegeben, diese den folgenden kartesischen Raumzeitkoordinaten entsprechen: $ x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t, x, y, z \right)$. Grundlegende Größen der allgemeinen Relativitätstheorie (z.B. die Metrik der Raumzeit, Christoffel Symbole, Ricci- und Einstein-Tensor) werden am Beispiel einer allgemeinen statischen und isotropen Raumzeit in Maple berechnet. Wir definieren z.B. die kovariante Metrik einer allgemeinen statischen, isotropen Raumzeit $ g_{\mu\nu} $, wobei wir ein sphärisches Koordinatensystem benutzen: \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} A(r) & 0 & 0 & 0\\ 0& -B(r)& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] , wobei $x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$. Wie sehen die Christoffel Symbole (erste Art $\Gamma_{\mu \nu \rho}$, vollständig kontravariante Form) \[ \Gamma_{\mu \nu \rho} = \frac{1}{2} \left( \partial_{\!\!\;\mu} g_{\nu \rho} + \partial_{\!\!\;\nu} g_{\mu \rho} - \partial_{\!\!\;\rho} g_{\mu \nu} \right) = \frac{1}{2} \left( g_{\nu \rho |\mu} + g_{\mu \rho |\nu} - g_{\mu \nu |\rho} \right) \] , (zweite Art $\Gamma^\mu_{\nu\rho}$) \[ \Gamma^\mu_{\nu\rho} = g^{\mu\delta} \Gamma_{\nu \rho \delta} = \frac{1}{2} g^{\mu\delta} \left( g_{\delta \nu |\rho} + g_{\delta \rho |\nu} - g_{\nu \rho |\delta} \right) \] , der Riemann Tensor $R{^\mu}_{\nu\alpha\beta}$, \[ R{^\mu}_{\nu\alpha\beta} = \Gamma^\mu_{\nu\beta|\alpha} - \Gamma^\mu_{\nu\alpha|\beta} + \Gamma^\mu_{\lambda\alpha} \Gamma^\lambda_{\nu\beta} - \Gamma^\mu_{\lambda\beta} \Gamma^\lambda_{\nu\alpha} \] , der Ricci Tensor $R_{\mu\nu}= g^{\alpha\beta} R_{\alpha\mu\beta\nu}$ und der Ricci Skalar $R=g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ aus?
Mit den Computeralgebra-Systemen Maple und Mathematica und der Programmiersprache Python lassen sich auch komplizierte Berechnungen im Bereich der allgemeinen Relativitätstheorie einfach berechnen.

Vorlesung 3

Wir betrachten im folgenden die Geodätengleichung \[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\tau} \frac{d x^\rho}{d\tau} ~=~ 0 \] in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} 1-\frac{2\,M}{r} & 0 & 0 & 0\\ 0& -\frac{1}{1-\frac{2\,M}{r}}& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] , wobei wir wieder ein sphärisches Koordinatensystem benutzen ($x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$). Die Geodätengleichung stellt ein System gekoppelter nichtlinearer Differentialgleichungen dar \[ \begin{eqnarray} && \frac{d^2 t}{d\lambda^2} = - \Gamma^0_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \\ && \frac{d^2 r}{d\lambda^2} = - \Gamma^1_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 \theta}{d\lambda^2} = - \Gamma^2_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 \phi}{d\lambda^2} = - \Gamma^3_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \quad , \end{eqnarray} \] wobei $\lambda$ ein affiner Parameter (z.B. die Eigenzeit $\tau$), t, r, $\theta$ und $\phi$ die Koordinaten und $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ die Christoffel Symbole zweiter Art darstellen. Man kann zeigen (siehe z.B. Seite 206 in General relativity : An introduction for physicists by M. P. Hobson, G. P. Efstathiou and A. N. Lasenby), dass sich die erste und vierte Gleichung dieses Systems von Differentialgleichungen in die folgenden Gleichungen umschreiben läßt: \[ \begin{eqnarray} \hbox{1. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left[ \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} \right] = 0 \\ \rightarrow && \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} = E = \hbox{const} \\ \hbox{2. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left( r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} \right) = 0 \\ \rightarrow && r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} = l = \hbox{const} \quad , \end{eqnarray} \] wobei die während der Bewegungen erhaltenen Größen E (Teilchenenergie pro Masse) und l (Drehimpuls pro Masse m) sich aus der Definition des Viererimpulses $p_\mu = m u_\mu$ ergeben. Die Klassifikation möglicher Bahnen von Probekörpern in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit kann mittels eines definierten effektiven Potentials illustriert werden. Dieses Potential hängt von dem, bei der Bewegung erhaltenen Drehimpuls pro Masse m ab. Die im Zentralfeld möglichen Bewegungen werden mittels zweier erhaltener Größen (l: Drehimpuls pro Masse m und E: Energie pro Masse) charakterisiert. Die Definition des effektiven Potential erfolgt mittels der radialen, 2. Geodätengleichung. So definieren z.B. die Literaturangaben 1-3 (siehe Literatur im linken Panel) das effektive Potentail wie folgt: \[ \begin{eqnarray} \hbox{2. Gleichung:}&\rightarrow&\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + V(r,M,l) = \frac{1}{2} \left( E^2 -1 \right) \\ \hbox{wobei:} && V(r,M,l) = \frac{l^2}{2 r^2} \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) - \frac{M}{r} \quad . \end{eqnarray} \] In der Literaturangabe 4 (siehe Literatur im linken Panel) wird das Potential V(r,M,l) hingegen wie folgt definiert: \[ \begin{eqnarray} \hbox{2. Gleichung:}&\rightarrow& \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + \left( V(r,M,l) \right)^2 = E^2 \\ \hbox{wobei:} && V(r,M,l) = \sqrt{ \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \left( 1 + \frac{l^2}{r^2} \right) } \quad . \end{eqnarray} \] Die im linken Panel veranschaulichte Abbildungen zeigen das effektive Potential als Funktion des Radius (in der Nomenklatur des 1.-3. Buches) und die Trajektorien der Probekörper für unterschiedliche Anfangswerte. Bei der elliptische, roten Bahn erkennt man hierbei gut den allgemeinrelativistem Effekt der Apsidendrehung (Periheldrehung bei der Sonne); d.h. der näheste Punkt (der Perihel) und der am weitesten entfernte Punkt (der Aphel) vom Zentrum des schwarzen Lochs betrachtet, ändert seine Position und rotiert entgegen dem Uhrzeigersinn in $\phi$-Richtung.

Vorlesung 4

In der vorigen Vorlesung hatten wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit betrachtet und gezeigt, wie man eine Klassifizierung möglicher Bahnen von Probekörpern mittels eines definierten effektiven Potentials V(r,M,l) illustrieren kann ($M$ ist die Masse des schwarzen Lochs und l der Bahndrehimpuls des Probekörperns). Eine dieser Bahnen ist von besonderer Bedeutung, die so genannte innerste stabile kreisförmige Bahngewegung (der ISCO: Innermost Stable Circular Orbit). Kreisförmige Bahnbewegungen sind dadurch charakterisiert, dass der Wert des Radiuses sich im laufe der Zeit nicht verändert und somit sich der radiale Abstand des Probekörpers vom schwarzen Loch gerade im Minimum des effektiven Potentials befindet. Es muss somit $\frac{dV}{dr}=0$ gelten. Lösst man diese Gleichung nach r auf, so erhält man zwei Lösungen, wobei die erste (positives Vorzeichen) dem stabilen Minimum und die zweite (negatives Vorzeichen) dem instabilen Maximum entspricht: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \quad \Rightarrow \, r_\pm = \frac{l}{2 M} \left( l \pm \sqrt{l^2 -12 M^2} \right) \end{eqnarray} $$ Der ISCO hat gerade die Sattelpunkt Eigenschaft, so dass zusätzlich $\frac{d^2V}{dr^2}=0$ gelten muss. Der Drehimpuls l des Probekörperns und sein radiale Abstand vom schwarzen Loch nehmen die folgenden Werte an: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \,\,,\,\,\, \frac{d^2 V}{dr^2}=0 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{\hbox{ISCO}} r=6 M \,\,,\,\,\, l = 2 \sqrt{3} M \end{eqnarray} $$ Kreisförmige Bewegungen um ein schwarzes Loch (nicht-rotierend) sind somit nur bis zu einem Abstand von $r=6 M$ möglich. Kommt man dem schwarzen Loch näher, endet man zwangsläufig in der echte Singularität. Dies gilt jedoch nur für massive Probekörper und nicht für masselose Teilchen (z.B. Photonen). Photonenbahnen unterscheiden im Wert des infinitesimalen Weglängenelementes $ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$. Mittels der Eigenschaft für Photonen ($ds^2=0$) vereinfacht sich die radiale Gleichung der Geodätengleichung und man kann ein effektives Potential definieren, welches allein von der Masse des schwarzen Lochs abhängt.: $$ \begin{eqnarray} && \frac{1}{l^2} \left( \frac{dr}{d\lambda} \right)^2 + V_{\hbox{eff}}(r) = \frac{1}{b^2}\\ && V_{\hbox{eff}}(r) = \frac{1}{r^2} \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \quad, \end{eqnarray} $$ wobei der Parameter b der Impaktparameter der Photonenbahn darstellt. Dieses Potential besitzt ein Maximum bei $r=3 M$ und stellt somit die innerste stabile kreisförmige Photonenbahn dar, die sogenannte Photonensphäre eines schwarzen Lochs. Mit $r=3 M$ ist diese nur ein wenig vom Ereignishorizont ($r=2 M$) entferent. Bis jetzt wurde die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild Raumzeit betrachtet, wobei die raumzeitliche Struktur der Metrik als gegeben vorausgesetzt wurde. Bevor wir zu rotierenden schwarzen Löchern übergehen, wollen wir den umgekehrten Fall betrachten: Wie man anhand einer speziellen Materie/Energieverteilung im Raum zu der zugehörigen raumzeitliche Struktur gelangen kann. Wir betrachten nun eine spezielle Lösung der Einsteingleichung, die so genannte innere Schwarzschildlösung eines sphärisch symmetrischen, statischen Objektes (z.B. Erde, Neutronenstern). Im folgenden wird die Einsteingleichung einer sphärisch symmetrischen und statischen Matrieverteilung betrachtet. Die Matrie wird hierbei als ideale Flüssigkeit angesetzt. Setzt man einen sphärisch symmetrischen und statischen Ansatz der Metrik an, z.B: $$g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} e^{2\Phi(r)} & 0 & 0 & 0\\ 0& - \left( 1 - \frac{2 m(r)}{r} \right)^{-1}& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktionen $\phi(r)$ und $m(r)$ an dieser Stelle noch unbekannt sind, später aber eine physikalische Bedeutung besitzen. Der Energie-Impuls Tensor (rechte Seite der Einsteingleichung) wird als ideale Flüssigkeit angesetzt: $$ T^\mu{}\!_\nu=\left( \begin{array}{ccc} e(r) & 0 & 0 & 0\\ 0& -p(r)& 0&0 \\ 0& 0& -p(r)& 0\\ 0& 0& 0& -p(r)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktionen $e(r)$ und $p(r)$ die Energiedichte und den Druck der Neutronensternmaterie darstellen, die ihrerseits über die Zustandsgleichung $p(e)$ miteinander verknüpft sind. Die Einstein Gleichung $$ G^\mu{}\!_\nu = R^\mu{}\!_\nu - \frac{1}{2}g^\mu{}\!_\nu R = 8\pi T^\mu{}\!_\nu$$ stellt demnach (in dem betrachteten Fall) ein System von vier gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung dar. Zusätzlich folgt aus der Einsteingleichung die kovariante Erhaltung des Energie-Impulses. Diese sogenannten hydrodynamischen Gleichungen sind durch die folgenden vier Gleichungen definiert: $$ \nabla\!_\mu G^\mu{}\!_\nu = D\!_\mu G^\mu{}\!_\nu = G^\mu{}_{\nu \, ||\mu} = 0 \quad \rightarrow \quad \nabla\!_\mu T^\mu{}\!_\nu = 0 \quad , $$ wobei die kovariante Ableitung eines Tensors zweiter Stufe wie folgt definiert ist: $$ \nabla\!_\alpha T^\mu{}\!_\nu = \partial_\alpha T^\mu{}\!_\nu + \Gamma^\mu_{\alpha \rho} T^\rho{}\!_\nu - \Gamma^\rho_{\alpha \nu} T^\mu{}\!_\rho \quad . $$ Durch Umschreiben und Kombination der Gleichungen gelangt man zu einem System von drei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung, die so genannten Tollman-Openheimer-Volkov (TOV) Gleichungen: $$ \begin{eqnarray} \frac{dm}{dr} &=& 4\pi r^2~e(r) ~, \\ \frac{d\Phi}{dr} &=& \frac{m(r)+4 \pi r^3 p(r)}{r \left(2m(r) -r \right)} ~, \\ \frac{dp}{dr} &=& -(e(r)+p(r)) \frac{d\Phi}{dr} \end{eqnarray} $$ Die auf der linken Seite dieser Internetseite der Vorlesung 4 bahandelten Maple bzw. Python Programme behandeln die numerische Lösung der TOV Gleichungen. Im Teil II dieses Kurses werden wir ebenfalls das TOV System behandeln und auf die parallele Programierung eingegangen.

Vorlesung 5

Die Tollman-Openheimer-Volkov (TOV) Gleichungen (siehe vorige Vorlesung) beschreibt das Druck/Dichte Verhalten und die raumzeitliche Struktur innerhalb eines sphärisch symmetrischen Objektes: $$ \begin{eqnarray} \frac{dm(r)}{dr} &=& 4\pi r^2~e(r) ~, \\ \frac{d\Phi(r)}{dr} &=& \frac{m(r)+4 \pi r^3 \, p(r)}{r \left(2\,m(r) -r \right)} ~, \\ \frac{dp(r)}{dr} &=& -(e(r)+p(r)) \frac{d\Phi}{dr} \end{eqnarray} $$ Ausserhalb des Objektes ist die Raumzeit durch die Schwarzschildmetrik definiert, welche aufgrund des Birkhoff-Theorems die einzige sphärisch symmetrische Lösung der Einsteingleichung im Vakuum ($T^{\mu\nu}\equiv 0$) ist. Mittels der TOV Gleichungen können die unterschiedlichsten Objekte in guter Näherung beschrieben werden. So kann man mit ihnen sowohl das Innere der Sonne und die durch sie verursachte Gravitationswirkung auf Planeten beschreiben, als auch die Eigenschaften von Weissen Zwergen, Neutronen und sogar Quarksterne beschreiben. Quarksterne stellen den letzten stabilen Zustand der elementaren Materie dar, bevor sie unaufhaltsam zu einer echten Singularität (dem schwarzen Loch) kollabiert - sie stehen wohlmöglich kurz vor ihrer experimentellen Entdeckung. Eine kurze Einführung in diese seltsamen astrophysikalischen Objekte findet sich in dem linken Panel dieser Internetseite. Die meissten durch Radioteleskope bekannten Neutronensterne rotieren sehr schnell (bis zu 760 mal in einer Sekunde) um die eigene Achse, so dass unser sphärisch symmetrischer Ansatz der Metrik nicht mehr erfüllt ist. Bevor wir jedoch zu rotierenden Neutronensternen übergehen, wollen wir am Ende dieser Vorlesung zunächst die Eigenschaften von rotierenden schwarzen Löchern besprechen. Im folgenden betrachten wir die Bewegung eines massiven Probekörpers um ein rotierendes schwarzes Loch und lösen die Geodätengleichung in vorgegebener Kerr-Raumzeit (in Boyer-Lindquist Koordinaten). Die kovarianten Kerr Raumzeit-Metrik eines rotierenden schwarzen Lochs der Masse M und Rotation a ($ a \in [-1,1]$ ist ein spezifischer Drehimpuls $a=J/M$ und wird als der sogenannte Kerr-Rotationsparameter bezeichnet) besitz in Boyer-Lindquist Koordinaten folgendes Aussehen: $$ \begin{eqnarray} &g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} g_{tt}(r,\theta) & 0 & 0 & g_{t\phi}(r,\theta)\\ 0& g_{rr}(r,\theta)& 0&0 \\ 0& 0& g_{\theta\theta}(r,\theta)& 0\\ g_{\phi t}(r,\theta)& 0& 0& g_{\phi\phi}(r,\theta)\\ \end{array} \right)& \\ & g_{tt}(r,\theta)=\left( \frac{1-2\,M\,r}{\rho^2} \right)\,\,, \, g_{t\phi}(r,\theta)=\frac{2aMr\hbox{sin}^2(\theta)}{\rho^2} &\\ &g_{rr}(r,\theta)=-\frac{\rho^2}{\Delta}\,\,, \quad g_{\theta\theta}(r,\theta)=-\rho^2\,\,, \, & \\ &g_{\phi\phi}(r,\theta)=-\left( \frac{r^2+a^2+2 M r a^2 \hbox{sin}^2(\theta)}{\rho^2} \right)\hbox{sin}^2(\theta)\,\,,&\\ &\rho^2=r^2+a^2 \hbox{cos}^2(\theta) \,\,, \quad \Delta=r^2-2Mr+a^2& \end{eqnarray} $$ Rotierende schwarze Löcher besitzen, im Gegensatz zu denen in den Vorlesung 3-4 besprochenen nicht-rotierenden schwarzen Löchern, eine Ringsingularität und eine kompliziertere Struktur der Ereignishorizonte. Ereignishorizonte ereignen sich formal an den Raumzeitpunkten bei denen die radiale Komponente der zugrunde liegenden Metrik singulär wird ($g_{rr}\rightarrow\infty$ (bzw. $g^{rr}=0$). Für $a \neq 0$ erhält man zwei Lösungen, die man gewöhnlich mit den Symbolen $r_{+}$ und $r_{-}$ bezeichnet $$ r_{+}= M + \sqrt{M^2 - a^2}\,, \quad r_{-}= M - \sqrt{M^2 - a^2}\quad, $$ und die für $a = 0$ in den Schwarzschild-Limes des Ereignishorizontes eines nicht-rotierenden schwarzen Lochs übergehen ($a=0 \rightarrow r_{+}=r_{-}=2\,M$). Zusätzlich existieren die Flächen der stationären Grenze (stationary limit surfaces) und die der unendlichen Rotverschiebung; sie sind durch $g_{tt}=0$ bestimmt und werden gewöhnlich mit den Symbolen $r_{S^+}$ und $r_{S^-}$ bezeichnet: $$ r_{S^+}= M + \sqrt{M^2 - a^2{{\rm cos}(\theta)}^2}\,, \,\, r_{S^-}= M - \sqrt{M^2 - a^2{{\rm cos}(\theta)}^2} $$ In dem linken Panel dieser Internetseite ist die Horizontstruktur eines rotierenden schwarzen Lochs bei ansteigendem Kerr-Rotationparameter $a$ in einer Animation veranschaulicht. Ein rotierendes schwarzes Loch zieht die Raumzeit mit sich mit. Die Rotationsfrequenz mit der die raumzeitlichen Struktur mitgeführt wird, nennt man ''Frame dragging'' Frequenz $\omega$; sie beschreibt wieviel sich die $\phi$-Koordinate pro Koordinatenzeit $t$ verändert: $$ \begin{equation} \omega(r,\theta)=\frac{d\phi}{dt} = \frac{\frac{d\phi}{d\tau}}{\frac{dt}{d\tau}} = \frac{u^\phi}{u^t} = \frac{g^{t\phi}}{g^{tt}} \end{equation} $$ Die Bewegung eines Probekörpers um ein rotierendes schwarzes Loch und das der Bewegung zugrundeliegende effektive Potential wird in der nächsten Vorlesung im Detail besprochen.

Vorlesung 6

In der vorigen Vorlesung hatten wir die Bewegung eines massiven Probekörpers um ein rotierendes schwarzes Loch in vorgegebener Kerr-Raumzeit (in Boyer-Lindquist Koordinaten) betrachtet, wobei der spezifischer Drehimpuls $a=J/M$ des schwarzen Lochs mittels des Kerr-Rotationsparameters a ($ a \in [-1,1]$ quantifiziert wurde. Die Struktur der Ereignishorizonte, die Flächen der stationären Grenze (stationary limit surfaces) und die ''Frame dragging'' Frequenz $\omega$ der Mitführung der raumzeitlichen Struktur des rotierenden schwarzen Lochs wurden ebenfalls behandelt.
In dieser Vorlesung werden wir das Lösen der Geodätengleichung in vorgegebener Kerr-Raumzeit behandeln und die möglichen Trajektorien von massiven Probekörpern analysieren. In der Literatur wird die Bewegung eines Probekörpers um ein rotierendes schwarzes Loch mittels eines definierten, effektiven Potentials illustriert (siehe z.B. Hartle- bzw. Hobson Buch). In ähnlicher Weise wie in Vorlesung 3 beschränken wir uns im folgenden auf äquatoriale Bewegungen, schreiben das System der gekoppelten Differentialgleichungen der Geodätengleichung um und betrachten die zweite, radiale Gleichung. Das effektive Potential hängt von dem, bei der Bewegung erhaltenem Drehimpuls pro Masse m (m ist hierbei die Masse die Probekörpers) und von der der Probekörper-Energie pro Masse ab. Die im Zentralfeld möglichen Bewegungen werden mittels zweier erhaltener Größen (l: Drehimpuls pro Masse m und E: Energie pro Masse) charakteriesiert: \[ \begin{eqnarray} &\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + V(r,M,l,a,E) = \frac{1}{2} \left( E^2 -1 \right)& \\ & V(r,M,l,a,E) \,=\, -\frac{M}{r} + \frac{l^2 - a^2 \left( E^2 -1 \right)}{2\, r^2} - \frac{M \left( l - a\,E \right)^2}{r^3} & \end{eqnarray} \] Aufgrund der Normalisierungseigenschaft der Vierergeschwindigkeit $ds^2=u^\mu u_\mu =1 $ sind die t- und $\phi$-Komponente der Viergeschwindigkeit wie folgt durch die Energie- und Drehimpulswerte bestimmt (siehe Hartle-Buch, S:318): \[ \begin{eqnarray} \frac{dt}{d\tau} &=& \frac{1}{\Delta} \left[ \left( r^2 + a^2 +\frac{2Ma^2}{r} \right)\, E -\frac{2Ma}{r}\, l \right] \\ \frac{d\phi}{d\tau} &=& \frac{1}{\Delta} \left[ \left( 1 - \frac{2M}{r} \right)\, l +\frac{2Ma}{r}\, E \right] \end{eqnarray} \] Die Bewegung von Probekörpern ist aufgrund des ''Frame dragging'' Effekts unterschiedlich zum Verhalten um ein nicht-rotierendes schwarzes Loch und bei rotierenden schwarzen Löchern gibt es zwei unterschiedliche Grenzen der Stabilität von kreisförmigen Trajektorien (zwei ISCOs, siehe Animation im rechten Panel dieser Vorlesung).
Die ''Frame dragging'' Frequenz wirkt in ähnlicher Weise auf die Geschwindigkeit von Probekörpern, wie das Magnetfeld in der Elektrodynamik die Lorentzkraft verursacht. Im Fall1 (grün) ist das gravitomagnetische Feld Null, im Fall 2 (blau) ist es aus der äquatoriellen Ebene nach oben gerichtet und im Fall 3 zeigt es nach unten. In erster Näherung (siehe Fließbach Buch, S:172) ist die gravitomagnetische Lorentzkraft gleich $ \sim 2\,\left( {\bf \omega} \times {\bf v} \right) $, wobei $ \times $ das Kreuzprodukt, $ {\bf \omega} $ der axiale Vektor der "Frame dragging" Frequenz und $ {\bf v} $ der Geschwindigkeitsvektor des Probekörpers ist. Die Änderung des Geschwindigkeitsvektors nimmt in Schwachfeldnäherung dann die folgende Gestalt an: \[ \begin{eqnarray} \frac{d{\bf v}}{d\tau} &=& \underbrace{-\hbox{grad}\, \Phi({\bf r})}_{\hbox{gewoehnlicher Teil der gravitativen Kraft}} +\\ && \\ && + \underbrace{2\, {\bf \omega}({\bf r}) \times {\bf v}}_{\hbox{gravitomagnetische Lorentzkraft}} \,\,+ {\cal O}(v^2/c^2)\,\,, \end{eqnarray} \] wobei $\Phi({\bf r})$ das Newtonsche Gravitationspotential und ${\bf v}=(v^r,v^\theta,v^\phi)$ der Geschwindigkeitsvektor des Probekörpers ist. Die unten abgebildete Grafik zeigt die "Frame dragging" Frequenz $ {\bf \omega} = \omega_z(r)$ für die Kerr Metrik, wobei bei der schwarzen Kurve a=0, bei der blauen Kurve a=0.99 und bei der roten Kurve a=-0.99 ist.

Vorlesung 7

In dieser Vorlesung wird das numerische Lösen des Tolman-Oppenheimer-Volkoff Differentialgleichungssystem (TOV Gleichungen, siehe Vorlesungen 4 und 5) im Detail beschrieben. In einem C++ Programm wird das TOV-System mittels des Eulerverfahrens numerisch gelöst und die besprochenen Parallelisierungsparadigmen (OpenMP und MPI) angewendet. Wie wir in Vorlesungen 4 zeigten, besitzt das Differentialgleichungssystem der TOV Gleichung das folgende Aussehen $$ \begin{eqnarray} \frac{dp}{dr} &=& -\frac{\left( p + e \right) \left( m + 4\pi r^3 p \right)}{r \left( r - 2 m \right)} \\ \frac{dm}{dr} &=& 4\pi r^2 e\\ \frac{d\Phi}{dr} &=& \frac{ m + 4\pi r^3 p }{r \left( r - 2 m \right)} \qquad, \end{eqnarray} $$ wobei $p=p(r)$ und $e=e(r)$ der Druck und die Energiedichte der Materie darstellen, $m=m(r)$ die radiusabhängige gravitative Masse ist und die Funktion $\Phi=\Phi(r)$ die 00- bzw. $tt$-Komponente der Metrik bestimmt ($g_{00}=e^{2\Phi}$; hier bezeichnet e die Eulersche Zahl!). Eine numerische Lösung der Sterneigenschaften benötigt lediglich die erste und zweite Differentialgleichung und geht im einfachsten Fall (einfaches Euler Verfahren) nach folgendem Schema vor:

• Man definiert die Zustandsgleichung (EOS) der Sternmaterie als eine Funktion e(p).
• Man startet im Sternzentrum $r=r_0$ und legt den Wert des zentralen Druckes $p=p_0:=p(r_0)$, der zentralen Energiedichte $e=e_0:=e(r_0)$ und der Masse $m=m_0:=m(r_0)=0$ fest. Da die este TOV Gleichung bei $r_0=0$ singulär wird, wählt man hier einen sehr, sehr kleinen Wert für $r_0$ (z.B. $r_0=10^{-14}$). Die Randbedingungen sind somit wie folgt definiert: \begin{equation} r=10^{-14}\,, \quad p=p_0\,, \quad e=e_0\,, \quad m=0 \nonumber \end{equation}
• Die TOV Gleichungen werden als Differenzengleichungen umgeschrieben und eine kleine Schrittweite $dr=\Delta r << 1$ wird festgelegt. In einer Schleife wird dann in jedem Radiusschritt die Druck- und Massenänderung berechnet und die jeweiligen Grössen beim nächsten Schritt um diesen Faktor erhöht bzw. verringert: \begin{eqnarray} dp &=& -\frac{\left( p + e \right) \left( m + 4\pi r^3 p \right)}{r \left( r - 2 m \right)} \, dr \nonumber \\ dm &=& 4\pi r^2 e \, dr \nonumber \\ p &=& p + dp \nonumber \\ m &=& m + dm \nonumber \\ r &=& r + dr \nonumber \end{eqnarray}
• Im Laufe der iterativen Lösung verringert sich der Druck ständig. Die Schleife wird solange ausgeführt bis der Wert des Druckes gleich Null bzw. negativ wird (Abruchbedingung: $p\leq0$), da an der Sternoberfläche der Druck verschwindet.

Vorlesung 8

In den vorigen Vorlesungen (sowohl bei der Analyse der Bewegungen um ein rotierendes/nicht-rotierendes schwarzes Loch als auch bei der Berechnung der Eigenschaften von Neutronensternen) hatten wir zeitunabhängige Raumzeiten betrachtet. Die zugrundeliegende Metric $g_{\mu\nu}$ der betrachteten 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\cal M}$ veränderte sich nicht mit der Zeit und hatte eine vorgegebene räumliche Symmetrie. In dieser Vorlesung wird es einen Einblick in eine Softwareplattform geben (das so genannte Einstein Toolkit) mit der man zeitabhängige allgemeinrelativistische Berechnungen, wie z.B. die Kollission zweier Neutronensterne durchführen kann. Realistische astrophysikalische Computersimulationen müssen die Einstein- und die zugehörigen hydrodynamische Gleichungen ohne spezielle Symmetrieannahmen zeitabhängig lösen. Um dies auf dem Computer zu realisieren muss man die Gleichungen umschreiben. Diese Neuformulierung der Einsteingleichung benutzt den sogenannten ($3+1$)-Split und teilt damit die 4-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\cal M}$ in 3-dimensionale raumähnliche Hyperflächen $\Sigma_t$ auf. Die Raumzeit Metrik $g_{\mu\nu}$ wird dadurch in eine rein räumliche Metrik $\gamma_{ij}$, eine Lapse-Funktion $\alpha$ und einen Verschiebungsvektor $\beta_i$ unterteilt: \[ \begin{equation} g_{\mu\nu} ~=~ \begin{pmatrix} -\alpha^2+\beta_i\beta^i & \beta_i \\ \beta_i & \gamma_{ij} \end{pmatrix} \end{equation} \] Die Lapse-Funktion $\alpha$ beschreibt die Differenz zwischen der Koordinatenzeit $t$ und der Eigenzeit eines Fluidteilchens $\tau$ ($d\tau=\alpha ~ dt $). Der Verschiebungsvektor $\beta_i$ misst, wie die Koordinaten auf der räumlichen Hyperfläche $\Sigma_t$ verschoben werden, wenn sich das Fluidteilchen einen infinitesimalen Zeitschritt weiter bewegt. Durch Einfügen dieses Ansatzes der Metrik in die Einstein Gleichung kann man die Gleichungen in ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung umformulieren -- die sogenannten ADM-Gleichungen (benannt nach seinen Autoren Richard Arnowitt, Stanley Deser und Charles W. Misner). Da die ADM Gleichungen nicht ''well posed'' sind und sich kleine nummerische Störungen exponentiell aufschaukeln könnten muss man diese noch umschreiben. Die Baumgarte-Shapiro-Shibata-Nakamura-Oohara-Kojima (BSSNOK) - Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie (oder alternativ die CCZ4-Formulierung) ist zusammen mit den relativistischen hydrodynamischen Gleichungen (unter Verwendung der Valencia-Formulierung) als Grundgleichungen in der Softwareplattform Einstein Toolkit implementiert, welches im linken Panel dieser Vorlesung beschrieben wird. Das Programm benötigt die vom Benutzer spezifizierte Anfangs-Hyperfläche $\Sigma_0$ und rechnet dann iterativ in Zeitabschnitten $dt$ die dynamische evolution des betrachteten Systems. Die untere Abbildung visualisiert das besprochene Konzept der ($3+1$) Zerlegung der Raumzeit (Credits: L. Rezzolla, O. Zanotti: Relativistic Hydrodynamics, Oxford Univ. Press (2013)).

Vorlesung 9

Studentische Projekte

Die studentischen Projekte können alleine oder in Gruppen (bis zu drei Personen) durchgeführt werden. Under construction ...