Vorlesung von PD Dr. Marcus Kasner im Wintersemester 2015/16

1. Grundlagen
   • Mengenlehre
   • Abbildungen
   • Zahlenbereiche: natürliche, ganze, rationale, reelle und komplexe Zahlen
   
   
2. Lineare Algebra und Vektorräume
• Vektoren im euklidischen Raum: Vektoren als Verschiebungen, Länge bzw. Norm eines Vektors, euklidischer Vektorraum als Vektorraum mit Norm
• Definition eines Vektorraumes: Axiome, andere Beispiele für Vektorräume
• Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basen sowie Basistransformationen im Rⁿ
• Inneres Produkt: Axiomatik, Skalarprodukt im euklidischen Vektorraum, Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung, Berechnung
• Äußeres Produkt im euklidischen Vektorraum: Eigenschaften, Berechnung, Identitäten, Spatprodukt, Gramsche Determinante, physikalische Beispiele
• Lineare Gleichungssysteme: Cramersche Regel, Rang einer Matrix, Lösbarkeitskritierien, homogenes Gleichungssystem, Lösung der Matrixgleichung


3. Gewöhnliche Differentialgleichungen
• Klassifikation und Beispiele gewöhnlicher Differentialgleichungen, generelle Aussagen
• Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen (DGL) 1. Ordnung: Isoklinen-Methode, Separation der Variablen, homogene DGL, exakte DGL, Methode der Variation der Konstanten
• Lösungsmethoden für lineare DGL 2. Ordnung: DGL mit konstanten Koeffizienten, Wronski-Determinante, Abelsche Identität, Lösung der inhomogenen DGL mit konstanten Koeffizienten mittels der Variation der Konstanten, Normalform


4. Reelle Analysis von Funktionen einer Veränderlichen und Vektoranalysis
• Analysis reellwertiger Funktionen einer reeller Veränderlichen: Grenzwert, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, bestimmtes Riemann-Integral, unbestimmtes Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Parameterintegrale mit veränderlichen Grenzen
• Reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher: partielle und Richtungsableitung, Nabla-Operator, Gradient eines skalaren Feldes, Taylorentwicklung
• Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes: Identitäten, geometrische Interpretation, Rechenregeln für Produkte aus skalaren und Vektorfeldern
• Kurven und Kurvenintegrale: Kurvenintegrale 1. Art, Parametrisierung, Kurvenintegrale 2. Art

1. Springer-Taschenbuch der Mathematik, begründet von I. N. Bronstein und K. A. Semendjajew, weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler, Hrsg. von E. Zeidler, 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage, Springer Spektrum, Wiesbaden, 2013.
2. Taschenbuch der Mathematik, I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, H. Mühlig, G. Musiol, 9. korr. Auflage, Verlag Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten, 2013.

Hervorgegangen sind diese beiden Werke aus:
I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, 19., völlig überarbeitete Auflage, Herausgeber: G. Grosche und V. Ziegler, Gemeinschaftsausgabe Verlag Nauka, Moskau, BSB B.G.Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1979.