Beispiele für einfache Quantensysteme

1. Löse die Schrödinger-Gleichung für den eindimensionalen Potentialtopf.
   




2. Manche Potentiale lassen sich durch stückweise konstante Potentiale approximieren. Bestimme die Eigenwertbedingung für das Potential:
   
   
   




3. Betrachte die Schrödinger-Gleichung für folgendes Potential
   
   
   
   Die Gebiete und sind zusätzlich bei durch eine unendlich dünne und hohe Potentialwand getrennt. Welchen Einfluss hat sie auf die Lösung der Schrödinger-Gleichung?




4. Zeige, dass die Wellenfunktion für die Streuung einer (von links nach rechts laufenden) ebenen Welle an der Potentialbarriere
   
   
   
   gleich
   
   
   ist, wobei
   
   
   Betrachte die Fälle und ; wie verhält sich der Transmissionskoeffizient
   
   
   bei festem als Funktion der Energie?




5. Zeige, dass es auch bei der Streuung () am rechteckigen Potentialtopf
   
   
   
   sinnvoll ist, einen Transmissionskoeffizienten zu definieren. Berechne die Wellenfunktion und diskutiere in Abhängigkeit von bei festem .




6. Ein Teilchen ist eingeschlossen in eine rechteckige Box mit undurchdringlichen Wänden, in der es sich frei bewegen kann.
   

   a)

   Berechnen Sie die Eigenfunktionen und möglichen Energien.

   b)

   Was können Sie über Entartung der Wellenfunktion aussagen, d.h. existieren mehrere linear unabhängige Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert?






7. a)

   Ein Teilchen der Masse sei in einem eindimensionalen harmonischen Potential. Zur Zeit sei die normierte Wellenfunktion gegeben durch

   
   

   wobei eine Konstante ist. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Impuls des Teilchens zur Zeit positiv ist.

   b)

   Betrachten Sie einen eindimensionalen Oszillator im n-ten Energiezustand. Berechnen Sie die Erwartungswerte , , , und die Matrixelemente , . Benutzen Sie dazu die Operatoren und . Was können Sie über die Unschärferelation aussagen?

   c)

   Lösen Sie das Problem des harmonischen Oszillators in Impuls-Darstellung.





8. Man berechne die Energieniveaus für ein Teilchen in dem Feld mit der potentiellen Energie
   
   
   für .




9. Zeigen Sie, dass das Energiespektrum eines Teilchens in dem periodischen Potential
   
   eine Bandstruktur hat. Anleitung:

   a)

   Wie ist der Einfluss des periodischen Potentials auf die Wellenfunktion?

   b)

   Durch die Stetigkeitsbedingungen bekommen Sie 4 Gleichungen für die Koeffizienten in den Ansätzen für die Wellenfunktionen. Nichttriviale Lösungen erhalten Sie, wenn die Determinante der Koeffizienten verschwindet.

   c)

   Unterscheiden Sie die Fälle und . Um das Spektrum zu untersuchen, lassen Sie gegen Null und gegen unendlich gehen derart, dass endlich bleibt, wobei

   
   

   ist.

   Für welches physikalische System ist dieses Potential eine Approximation?





10. a)

    Der Drehimpulsoperator ist definiert als

    
    

    Nutzen Sie die Kommutatorrelationen zwischen und um folgende Kommutationsrelationen zu finden: , , , .

    b)

    Der Paritätsoperator ist definiert durch

    
    

    i)

    Sei ein beliebiger Ket mit korrespondierender Wellenfuktion . Finden Sie die Wellenfunktion .

    ii)

    Zeigen Sie, dass hermitesch ist.

    iii)

    Finden Sie den Operator . Was sind seine möglichen Eigenwerte?

    iv)

    Wir definieren
    

    
    

    Zeigen Sie, dass und Eigenvektoren zu sind.

    v)

    Zeigen Sie, dass die zu und gehörenden Wellenfunktionen gerade bzw. ungerade Funktionen sind.

    c)

    Besitzt der Projektionsoperator ein Inverses?





11. In einer Basis seien die Operatoren und dargestellt durch die Matrizen und . Das Ket ist durch , das Bra durch dargestellt.

    a)

    Finden Sie die Matrixdarstellung des Operators .

    b)

    Finden Sie die Darstellung von .

    c)

    Finden Sie einen Ausdruck für den Skalar ausgedrückt durch obige Darstellungen.

    d)

    Was ist die Matrixdarstellung von ?






12. a)

    Berechne das mittlere Potential des Feldes, das vom Kern und dem Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms erzeugt wird.

    b)

    Diskutiere die Lösung für und .






13. a)

    Gegeben sei die Wellenfunktion für ein wasserstoffartiges Atom:

    
    

    wobei in Einheiten des Bohrschen Radius ausgedrückt ist.

    i)

    Finden Sie die korrespondierenden Werte der Quantenzahlen , , .

    ii)

    Konstruieren Sie ausgehend von eine andere Wellenfunktion mit den gleichen Werten und , aber mit einer anderen magnetischen Quantenzahl, .

    iii)

    Berechnen Sie den wahrscheinlichsten Wert von für ein Elektron in dem zu korrespondierenden Zustand und mit .

    b)

    Die Wellenfunktion eines Elektrons in einem wasserstoffartigen Atom sei

    
    

    mit . Die Kernladungszahl ist und das Atom enthält nur ein Elektron.

    i)

    Berechnen Sie die Normierungskonstante.

    ii)

    Für den Kern sei , . Der Radius des Kerns ist näherungsweise gegeben durch . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron im Kern befindet?






14. a)

    Zeige, dass für ein kugelsymmetrische Potential gilt
    

    
    

    b)

    Welche Konsequenzen hat die Vertauschbarkeit von und mit dem Hamilton-Operator für die Lösung der stationären Schrödinger-Gleichung mit kugelsymmetrischem Potential?






15. a)

    Betrachten Sie die folgenden Beziehungen:
    

    
    

    Ein System habe den Drehimpuls . Finden Sie die Matrixdarstellungen von , , und in der Basis der Eigenvektoren von und .

    b)

    Was ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Messung von , 0, für ein System mit Drehimpuls 1 ergibt. Das System sei im Zustand , ausgedrückt in der Basis der Eigenfunktionen von .

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