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1)

Wir zeigen zuerst, dass aufgrund von gilt . Es gilt

und

Definiere . Aufgrund von gilt

Subtrahiere (1) und (2):

Dies ist aber die Gleichung (1). Daraus ergibt sich und mit folgt (Bloch-Theorem). Weiterhin folgt nun . Wäre nun , so würde in eine x-Richtung unendlich größer werden, wäre also keine physikalische Lösung. Also muss gelten

Somit ist und . Wir machen nun einen Ansatz für die Wellenfunktion in der Periode :

mit

Dann muss in der Periode gelten:

2)

Aus den Stetigkeitsbedingungen bei und erhält man die folgenden Gleichungen

Nicht-triviale Lösungen für , , , erhält man unter der Bedingung, dass die Determinante der Koeffizienten verschwindet. Daraus erhält man die folgenden Bedingungen:

mit

3)

Die Energie steht in den Größen , , und hat Werte, so dass

Nun unterscheiden wir 2 Fälle:

I)

Wir machen nun den in der Aufgabenstellung beschriebenen Grenzübergang , , so dass endlich bleibt. Wir definieren

Die Bedingung lautet nun:

Dies sieht man so: Wir untersuchen

Dies schreiben wir um in

Es ist

und

Nun ist

und für kleine gilt , d.h. der Grenzübergang führt auf

Wir stellen graphisch in Abhängigkeit von dar und wählen .

Man erkennt, dass das Energiespektrum aus einer Reihe von getrennten Bereichen besteht, innerhalb derer die Energie sich kontinuierlich verändern kann. Diese Bereiche nennt man erlaubte Bänder, die anderen Bereiche verbotene Bänder. Die Breite der erlaubten Bänder steigt mit steigender Energie.

II)

Die möglichen Energiewerte für diesen Fall ergeben sich aus der Bedingung

mit

Auch in diesem Fall entsteht wieder eine Bandstruktur.

Anmerkung: Das Modell, das unter der Einführung des oben besprochenen Grenzprozesses enstand, also mit

wird als Kronig-Penney-Modell bezeichnet.