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Lösung der Schrödinger-Gleichung für die Gebiete I, II und III getrennt. Anpassung der Lösung an den Gebietsgrenzen durch Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktion und Ihrer Ableitung.
Schrödinger-Gleichung und Lösungen für Gebiet I/III:

Schrödinger-Gleichung und Lösung für Gebiet II:

Damit die Gesamtlösung normierbar ist, also die Dichte ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens im Topf wird, muss normierbar sein, d.h. muss für verschwinden. Man sieht unmittelbar: und . Bestimmung von , , , aus Anschlussbedingungen:

Dies ist ein lineares homogenes Gleichungssystem mit:

Es besitzt genau dann eine eindeutige nichttriviale Lösung, wenn , also:

Verwende

und

womit folgt

Diese quadratische Gleichung hat die Lösungen

Einsetzen von in (2) führt mit (1) auf die beiden Gleichungen

Subtrahiert man die erste von der zweiten Gleichung, so findet man

Zusammen mit (3) bleiben also

Man erkennt unmittelbar .
Einsetzen von in (2) führt mit (1) und (3) ganz analog auf und .
Gleichung (4) ist in beiden Fällen linear abhängig. Man erhält also zwei Kategorien von Lösungen:

I)

symmetrische Eigenfunktionen:

II)

antisymmetrische Eigenfunktionen:

bestimmt sich aus der Normierungsbedingung

Für beide Fälle ergibt sich:

Berechnung der Eigenwerte: Einsetzen der Definitionen für und liefert

da , so dass man für die Eigenwertbedingungen

oder

erhält.

Jeder Schnittpunkt der Kurven und definiert die Eigenwerte zu einer symmetrischen Eigenfunktion, die Schnittpunkte der Kurven und definieren die Eigenwerte zu einer antisymmetrischen Lösung der Schrödinger-Gleichung.