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a)

In Kugelkoordinaten lautet der Laplace-Operator

Der Winkelanteil lautet explizit

in Kugelkoordinaten:

Der Laplace-Operator lässt sich also auch wie folgt schreiben:

Dementsprechend lautet der Hamilton-Operator für ein Zentralpotential

Den Kommutator kann man somit aufspalten:

Alle drei Kommutatoren verschwinden - Begründung siehe unten. Analog für .

Wie aus den angegebenen Formeln ersichtlich ist, wirken die Drehimpulsoperatoren nur auf die Winkelkoordinaten, damit ist klar, dass der erste und dritte Kommutator verschwinden. Der Kommutator eines Operators mit sich selbst verschwindet ebenfalls, und das Quadrat des Drehimpulsoperators und der z-Komponente des Drehimpulsoperators kommutieren ebenfalls.

b)

Operatoren, die miteinander vertauschen, besitzen einen gemeinsamen Satz Eigenvektoren. Folglich können wir die Eigenfunktionen der Schrödinger-Gleichung mit kugelsymmetrischem Potential schreiben als

Die Kugelflächenfunktionen sind Eigenfunktionen zu und .