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a)

, , und sind hermitesche Operatoren, genauso ihre Matrixdarstellungen. Für alle Elemente der Matrizen gilt . Für ein System mit Drehimpuls sind die Eigenvektoren zu :

Um die Matrixdarstellung von zu finden, berechnen wir

Wir wählen die Standard-Basis:

Die Matrixdarstellung von ist darin

Für gilt:

Die Matrixdarstellung von ist

Für gilt:

Die Matrixdarstellung von ist

Für gilt:

Die Matrixdarstellung von ist

b)

Zuerst suchen wir die Eigenvektoren von für in der Basis von . Wir suchen also die Eigenvektoren und Eigenwerte von

Wenn wir die Eigenwerte von als schreiben, ist die Säkulargleichung von

Die Lösungen sind , d.h. die Eigenwerte von sind oder 0. Der zu dem Eigenwert gehörende Eigenvektor ist

mit

Folgendes Gleichungssystem ist also zu lösen:

d.h.

Daraus erhalten wir und aus der Normierungsbedingung schließlich :

Auf gleiche Weise erhalten wir für die zwei anderen Eigenvektoren:

und

Wir schreiben den Systemzustand als

In der Basis der Eigenvektoren von ist es

Berechnung der Terme

Ergebnis:

Daraus lassen sich nun die gesuchten Wahrscheinlichkeiten berechnen: