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a)

i)

Wir betrachten den Exponentialfaktor in : er hat die Form . Da ist, schließen wir auf . Die Drehimpulsquantenzahl erhalten wir durch Anwendung von auf :

Wir benutzen , um die magnetische Quantenzahl zu finden:

ii)

Wir benutzen den Leiteroperator . Es ist und , also

Wir erhalten so

iii)

Der wahrscheinlichste Wert von tritt auf, wenn maximal wird. Für erhalten wir

Es ergibt sich die quadratische Gleichung

Die Lösungen sind und . wird maximal für . Der wahrscheinlichste Wert ist also .

b)

i)

Zur Normierung muss das Integral

berechnet werden. Da bleibt vom Normierungsintegral

übrig und mit

ist

auszuwerten. Mit der Substitution bleibt

Dieses Integral kann mit Hilfe der Gamma-Funktion

gelöst werden (hier bzw. ):

ii)

Sei der Kernradius in Fermi ( ). Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Kern zu finden, ist

Da sehr klein ist im Vergleich zu ( ), betrachten wir als konstant im Kern, d.h. . Dann folgt unmittelbar