• Folien der 1.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (15.10.2026)

• Einstein - Analen der Physik
• Wikisource: Albert Einstein
• Event Horizon Telescope
• LIGO: Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory


• Einsteins Relativitätstheorie
• Einführung in die Programmierung für Studierende der Physik
• Eine kleine Einführung in die Programmiersprache Python

• Das Computeralgebra-System: Python Jupyter + SymPy ('Jupyter_sympy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 1

A. Einstein stellte im Jahre 1915 seine revolutionäre allgemeine Relativitätstheorie der wissenschaftlichen Öffentlichkeit vor. Seine Feldgleichungen leitete er mittels eines allgemeinen Kovarianzprinzips her und in Einstein, A. 1915, Preuss. Akad.Wiss. Berlin, Sitzungsber., 778-786 schrieb er über seine Theorie "Dem Zauber der Theorie wird sich kaum jemand entziehen können, der sie wirklich erfasst hat;...". Die Schönheit der Einstein Gleichung liegt neben ihrem zugrunde liegenden Kovarianzprinzip in der Einfachheit ihrer fundamentalen Aussage. Nach Einstein verbiegt jede Energieansammlung die Struktur der Raumzeit und diese gekrümmte Raumzeit ist der ursächliche Grund der Gravitation. Nach Einstein fällt der Apfel vom Baum zu Boden, da der große Energiegehalt der Erde die raumzeitliche Struktur so stark verbiegt, dass der Apfel sich in dieser gekrümmten Raumzeit nach geodätischen Gesetzen zu Boden bewegen muss.

In der ersten Vorlesung werden die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie und im Besonderen die Einsteingleichung (hier ohne kosmologischen Term) \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R ~=~ -8 \pi \, T_{\mu\nu} \] und die Geodatengleichung \[ \frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\tau} \frac{d x^\rho}{d\tau} ~=~ 0 \] wiederholt (siehe Unterpunkt Einsteins Relativitätstheorie im linken Panel). Die griechischen, raumzeitlichen Indices $ \mu, \nu, \rho ... $ laufen von 0..3, wobei, falls nicht anders angegeben, diese den folgenden kartesischen Raumzeitkoordinaten entsprechen: $ x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t, x, y, z \right)$. Bei gegebenem Energie-Impuls $T_{\mu\nu}$ beschreibt die linke Seite der Einsteingleichung in welcher Weise sich die Raumzeit verbiegt, wobei $g_{\mu\nu}$ die Metrik der Raumzeit beschreibt und $R_{\mu \nu}$ der Ricci-Tensor, $R$ der Ricci Skalar und $G_{\mu\nu} := R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu}$ der Einstein-Tensor ist. Die einzelnen Größen lassen sich aus dem Riemannschen Krümmungstensor $R^{\mu}{}\!_{\nu \rho \sigma}$ berechnen, der sich wie folgt, aus den Christoffel-Symbolen $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ zusammensetzt: \[ \begin{eqnarray} & R^{\mu}{}\!_{\nu \rho \sigma} = \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu \sigma}}{\partial x^{\rho}} - \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu \rho}}{\partial x^{\sigma}} + \Gamma^{\alpha}_{\nu \sigma}\Gamma^{\mu}_{\rho \alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\nu \rho}\Gamma^{\mu}_{\sigma \alpha} & \\ & \Gamma^{\sigma}_{\mu \nu} = \frac{1}{2}g^{\sigma \alpha} \left( g_{\nu \alpha| \mu} + g_{\mu \alpha| \nu} - g_{\mu \nu| \alpha} \right) & \\ & g_{\mu\nu| \alpha} := \partial_\alpha g_{\mu\nu} = \frac{\partial }{\partial x^\alpha}g_{\mu\nu} & \\ & R_{\mu \nu} = R^{\sigma}{}\!_{\mu \sigma \nu} \,\, , \quad R = R^{\mu}{}_{\!\mu} = g^{\mu \nu}R_{\nu \mu} & \end{eqnarray} \]

Eine Berechnung der grundlegenden Größen der allgemeinen Relativitätstheorie (z.B. Christoffel Symbole oder Ricci-Tensor) bei vorgegebener Metrik $g_{\mu\nu}$ ist oft zeitaufwendig und rechenintensiv. Computeralgebra-Systeme erleichtern solche tensoriellen Berechnungen und in diesem Kurs werden wir die Programmiersprache Python, in Verbindung mit unterschiedlichen Python-Bibliotheken verwenden, um symbolische Berechnungen durchzuführen. In der Vorlesung Einführung in die Programmierung für Studierende der Physik finden Sie in der Vorlesung 3 Eine kleine Einführung in die Programmiersprache Python und in dem nebenstehenden Python Jupyter Notebook wird die Programmiersprache Python, in Verbindung mit der Python-Bibliothek SymPy benutzt, um algebraische Ausdrücke zu analysieren.
Am Ende dieser 1. Vorlesung wird es einen kurzen Überblick der Inhalte der gesamten Vorlesung geben.

• Folien der 2.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (22.10.2026)

• Übungsblatt Nr. 1

• Python-Modul OGRePy
• Python-Modul EinsteinPy
• Python-Modul Gravipy
• Allgemeine Relativitätstheorie mit Python und EinsteinPy (2023)
• Allgemeine Relativitätstheorie mit Python und Gravipy (2020)
• Freies Open-Source-Computeralgebrasystem SageMath mit integriertem SageManifolds

• Allgemeinen Relativitätstheorie mit Python und EinsteinPy ('EinsteinPy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)
• Allgemeinen Relativitätstheorie mit Python und OGRePy ('OGRePy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 2

Eine Berechnung der grundlegenden Größen der allgemeinen Relativitätstheorie bei vorgegebener Metrik der Raumzeit ist oft zeitaufwendig und rechenintensiv. Nehmen wir z.B. die Metrik $g_{\mu\nu}$ einer allgemeinen statischen, isotropen Raumzeit, wobei wir nun ein sphärisches Koordinatensystem $x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t, r, \theta, \phi \right)$ verwenden: \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} A(r) & 0 & 0 & 0\\ 0& -B(r)& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] Um Größen wie z.B. den Riemannschen Krümmungstensor $R^{\mu}{}\!_{\nu \rho \sigma}$ oder den Ricci Tensor $R_{\mu \nu}$ ausrechnen zu können, benötigt man zunächst die Christoffel Symbole $\Gamma^{\sigma}_{\mu \nu}$. Im Folgenden berechnen wir ''per Hand'' eine der 64 Komponenten der Christoffel Symbole, nämlich die $\Gamma^{0}_{0 1}=\Gamma^{t}_{t r}$-Komponente: \[ \begin{eqnarray} \Gamma^{\sigma}_{\mu \nu} &=& \frac{1}{2}g^{\sigma \alpha} \left( g_{\nu \alpha| \mu} + g_{\mu \alpha| \nu} - g_{\mu \nu| \alpha} \right) \underbrace{\rightarrow}_{(\sigma, \mu, \nu)=(t, t, r))} \\ \Gamma^{t}_{t r} &=& \frac{1}{2}g^{t \alpha} \left( g_{r \alpha| t} + g_{t \alpha| r} - \underbrace{g_{t r| \alpha} }_{=0} \right) = \\ &=& \underbrace{\frac{1}{2}g^{t r} g_{r r| t}}_{=0} + \frac{1}{2} \underbrace{g^{t t}}_{=\frac{1}{A(r)}} g_{t t| r} = \frac{1}{2 \, A(r)} \partial_r A(r) = \\ &=& \frac{ \frac{d A(r)}{dr}}{2 \, A(r)} \end{eqnarray} \] Anhand dieses Beispiels kann man erkennen, dass Berechnungen in der allgemeinen Relativitätstheorie schnell aufwendig werden können. Im Unterpunkt Allgemeine Relativitätstheorie mit Python dieser Vorlesung (siehe linkes Panel) werden wir diese und viele weitere Berechnungen mittels des Computers durchführen.

• Folien der 3.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (29.10.2026)

• Übungsblatt Nr. 2

• Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik (EinsteinPy) ('Schwarzschild.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

• Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik (OGRePy) ('Schwarzschild_OGRePy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 3

In der dritten Vorlesung werden wir die wohl bekannteste analytische Lösung der Einsteingleichung betrachten - die sogenannte Schwarzschild-Lösung. Bereits einige Monate nach der Publikation von Einsteins Artikel zur Allgemeinen Relativitätstheorie im Jahre 1915, erarbeitete Karl Schwarzschild in zwei Arbeiten mögliche analytische Lösungen der neuen Theorie der Raumzeitkrümmung. In der ersten dieser Arbeiten ("Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie", siehe Schwarzschild, K., Sitzungsberichte der Königlich-Preussischen Akademie der Wissenschaften. Reimer, Berlin 1916, S. 189-196) betrachtete Herr Schwarzschild die Einstein-Gleichung für den freien, leeren Raum ($T_{\mu\nu}=0 \quad \rightarrow \quad R_{\mu\nu}=0$), wobei er annahm, dass sich die gesamte Materie/Energie in einem singulären Punkt im Ursprung befindet (Massenpunkt der Masse $M$). Die so von ihm gefundene Lösung der resultierenden Feldgleichungen ist heutzutage unter dem Namen Schwarzschild-Metrik bekannt und lautet: \[ g_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{ccc} 1-\frac{2\,M}{r} & 0 & 0 & 0\\ 0& -\frac{1}{1-\frac{2\,M}{r}}& 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \] , wobei wir ein sphärisch symmetrisches Koordinatensystem benutzt wurde ($x^\mu=\left(t,r,\theta,\phi \right)$). Die skalare Invariante des vollständig kontrahierten Quadrates des Riemannschen Krümmungstensors $K = R_{\mu \nu \rho \sigma} R^{\mu \nu \rho \sigma}$, der sogenannte Kretschmann-Skalar $K$, wird im Ursprung singulär ($K=\frac{48\,M^2}{r^6}$) und die Schwarzschild-Metrik besitzt daher eine echte Singularität bei $r = 0$. Neben dieser echten Singularität besitzt die Schwarzschild-Metrik eine Koordinatensingularität bei dem sogenannten Schwarzschild-Radius $R_S=2M$.

Diese Schwarzschild-Lösung ist von besonderer Bedeutung für astrophysikalische Betrachtungen, denn sie beschreibt einerseits die Metrik eines nicht-rotierenden schwarzen Lochs und andererseits, aufgrund des Birkhoff-Theorem, die Metrik außerhalb eines einzelnen isolierten, nicht-rotierenden Sterns.

Im linken Panel dieser Vorlesung werden die Eigenschaften der Schwarzschild-Metrik in einem Jupyter Notebook berechnet und in Raumzeit-Diagrammen visualisiert.

• Folien der 4.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (05.11.2026)

• Radialer Fall eines Probekörpers in ein schwarzes Loch (EinsteinPy) ('GeodSchwarzschildI.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

• Radialer Fall eines Probekörpers in ein schwarzes Loch (OGRePy) ('GeodSchwarzschildI_OGRePy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 4

In dieser Vorlesung werden wir der Frage nachgehen, wie sich Körper in einer gekrümmten Raumzeit bewegen? Die allgemeine Relativitätstheorie beantwortet diese Fragen in anschaulicher und eleganter Weise. Falls keine weiteren Kräfte auf den Körper einwirken, folgt er schlicht dem Weg des geringsten Widerstands in der deformierten Raumzeit und wählt die Geodäte (die geradestmögliche Linie) in der gekrümmten Mannigfaltigkeit. Die zugrundeliegende Geodätengleichung lässt sich dabei durch folgendes Variationsprinzip herleiten \[ \begin{equation} \int_{x^\mu(A)}^{x^\mu(B)} ds= \int_{x^\mu(A)}^{x^\mu(B)} \sqrt{g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu}=\int_A^B \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}} d\lambda \rightarrow \hbox{Extremal} \end{equation} \] , wobei man, bei festgehaltenen Anfangs- und Endpunkten ($x^\mu(A)$ und $x^\mu(B)$), nach den extremalsten Kurven $x^\mu(\lambda)$ in der Raumzeit sucht. Den Parameter $\lambda$ bezeichnet man als affiner Parameter, welcher z.B. die Eigenzeit $\tau$ des Körpers sein kann. Die Geodätengleichung ergibt sich dann mittels der Euler-Lagrange Gleichungen, wobei man als Lagrangedichte den Ausdruck $L = \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}$, bzw. alternativ $L = g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}$ verwendet. \[ \begin{equation} \frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \frac{d x^\alpha}{d \lambda}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x^\alpha} = 0 \quad \xrightarrow{\cdot \frac{1}{2}g^{\mu \alpha }} \quad \frac{d^2 x^\mu}{d\lambda^2} + \Gamma^\mu_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} ~=~ 0 \end{equation} \] Die Geodätengleichung stellt ein System gekoppelter nichtlinearer Differenzialgleichungen dar \[ \begin{eqnarray} && \frac{d^2 x^0}{d\lambda^2} = \frac{d^2 t}{d\lambda^2} = - \Gamma^0_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \\ && \frac{d^2 x^1}{d\lambda^2} = \frac{d^2 r}{d\lambda^2} = - \Gamma^1_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 x^2}{d\lambda^2} = \frac{d^2 \theta}{d\lambda^2} = - \Gamma^2_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda}\\ && \frac{d^2 x^3}{d\lambda^2} = \frac{d^2 \phi}{d\lambda^2} = - \Gamma^3_{\nu \rho} \frac{d x^\nu}{d\lambda} \frac{d x^\rho}{d\lambda} \end{eqnarray} \] , wobei wir in dieser vierten Vorlesung die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit und speziell nur den radialen Fall eines Probekörpers näher betrachten werden. Im linken Panel dieser Vorlesung werden wird die numerische Lösung der Geodätengleichung für dieses Beispiel in einem Jupyter Notebook berechnen.

• Folien der 5.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (12.11.2026)

• Klassifizierung unterschiedlicher Bahnbewegungen (EinsteinPy) ('GeodSchwarzschildII.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

• Klassifizierung unterschiedlicher Bahnbewegungen (OGRePy) ('GeodSchwarzschildII_OGRePy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 5

In der vorigen Vorlesung hatten wir gesehen, dass die Bewegung von Probekörpern in einer Schwarzschild-Raumzeit über die Geodätengleichungen beschrieben wird. In dieser Vorlesung werden wir mithilfe eines effektiven Potenzials die möglichen, unterschiedlichen Trajektorien anschaulich klassifizieren.
Durch die Symmetrien der Schwarzschild-Metrik (Zeittranslations- und Rotationsinvarianz) lassen sich die erste und vierte Geodätengleichung direkt integrieren. Dies liefert zwei fundamentale Erhaltungsgrößen der Bewegung. Man kann zeigen (siehe z.B. Seite 206 in General relativity : An introduction for physicists by M. P. Hobson, G. P. Efstathiou and A. N. Lasenby), dass sich die erste und vierte Gleichung dieses Systems von Differenzialgleichungen in die folgenden Gleichungen umschreiben lässt: \[ \begin{eqnarray} \hbox{1. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left[ \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} \right] = 0 \\ \rightarrow && \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \frac{dt}{d\lambda} = e = \hbox{const} \\ \hbox{4. Gleichung:}&& \frac{d}{d\lambda} \left( r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} \right) = 0 \\ \rightarrow && r^2 \hbox{sin}^2(\theta) \frac{d\phi}{d\lambda} = l = \hbox{const} \end{eqnarray} \] , wobei die während der Bewegungen erhaltenen Größen e (Teilchenenergie pro Masse) und l (Drehimpuls pro Masse m) sich aus der Definition des Viererimpulses $p_\mu = m u_\mu$ ergeben.
Die Klassifikation möglicher Bahnen von Probekörpern in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit kann mittels eines definierten effektiven Potenzials illustriert werden. Dieses Potenzial ($V(r,M,l)$) hängt von dem, bei der Bewegung erhaltenen Drehimpuls $l$ und der Masse des schwarzen Lochs $M$ ab. Die im Zentralfeld möglichen Bewegungen werden mittels zweier erhaltener Größen (l: Drehimpuls pro Masse m und e: Energie pro Masse) charakterisiert. Die Definition des effektiven Potenzials erfolgt mittels der radialen, 2. Geodätengleichung. In der Fachliteratur existieren zwei gängige Definitionen für das effektive Potenzial $V(r,M,l)$, welche von der Masse $M$ des Schwarzen Lochs und dem Drehimpuls $l$ abhängen. Eine häufig genutzte Formulierung ist \[ \begin{eqnarray} \hbox{2. Gleichung:}&\rightarrow&\frac{1}{2} \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + V(r,M,l) = \frac{1}{2} \left( e^2 -1 \right) \\ \hbox{wobei:} && V(r,M,l) = \frac{l^2}{2 r^2} \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) - \frac{M}{r} \quad . \end{eqnarray} \] , wobei der letzte Term $-\frac{Ml^{2}}{r^{3}}$ eine rein allgemein-relativistische Korrektur ist, die im Newtonschen Potenzial fehlt und für den Kollaps nahe dem Ereignishorizont sorgt.
Eine alternative Formulierung in Wurzel-Form lautet: \[ \begin{eqnarray} \hbox{2. Gleichung:}&\rightarrow& \left( \frac{dr}{d\tau} \right)^2 + \left( V(r,M,l) \right)^2 = e^2 \\ \hbox{wobei:} && V(r,M,l) = \sqrt{ \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \left( 1 + \frac{l^2}{r^2} \right) } \quad . \end{eqnarray} \] Die im linken Panel veranschaulichte Animation zeigt dieses effektive Potenzial als Funktion des Radius ($M=1,l=4.1$) und die möglichen Trajektorien der Probekörper für unterschiedliche Anfangswerte in einem eingebetteten Raumzeit-Diagramm der Schwarzschild-Metrik. Bei der elliptische, roten Bahn erkennt man hierbei gut den allgemein-relativistischen Effekt der Apsidendrehung (Periheldrehung bei der Sonne); d.h. der am nächsten gelegene Punkt (der Perihel) und der am weitesten entfernte Punkt (der Aphel) vom Zentrum des schwarzen Lochs betrachtet, ändert seine Position und rotiert entgegen dem Uhrzeigersinn in $\phi$-Richtung.

• Folien der 6.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (19.11.2026)

• Numerisches Lösen der Geodätengleichung mittels eines C/C++ Programmes
• Planetenbewegungen und das n-Körper-Problem
• Abgeleitete Klassen, Vererbung von Klassenmerkmalen und Klassenhierarchien
• Differenzialgleichungen: Numerische Lösung von Anfangswertproblemen
• Systeme von gekoppelten Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungen zweiter Ordnung

• C++ Header File GeodesicSchwarzschild.hpp
• Hauptprogramm GeodesicSchwarzschild.cpp
• Python-Skript zur Visualisierung GeodesicSchwarzschild.py

Vorlesung 6

Um das C++ Programm zur Berechnung der Geodätengleichung zu erstellen, leiten wir zunächst das zugrundeliegende Differenzialgleichung-System mittels eines Python Jupyter ab und exportieren es dann in das C++ Programm. Wir benutzen dazu das in der vorigen Vorlesung vorgestellte Jupyter Notebook GeodSchwarzschildII_OGRePy.ipynb und exportieren dann die Gleichungen des gekoppelten Differenzialgleichung-Systems in C-Ausdrücke. In diesem Jupyter Notebook betrachten wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit und beschränkten uns dabei auf ebene Bahnbewegungen des Testteilchens, sodass nur drei der vier Geodätengleichungen relevant sind.

Um das System von drei Differenzialgleichungen zweiter Ordnung numerisch lösen zu können, müssen wir es zunächst in ein System von sechs Differenzialgleichungen erster Ordnung umschreiben. Details zum numerischen Lösung von Differenzialgleichungen finden Sie in der Vorlesung Einführung in die Programmierung für Studierende der Physik in den Unterpunkten Differenzialgleichungen: Numerische Lösung von Anfangswertproblemen und Systeme von gekoppelten Differenzialgleichungen und Differenzialgleichungen zweiter Ordnung.
Im Unterpunkt Abgeleitete Klassen, Vererbung von Klassenmerkmalen und Klassenhierarchien der Vorlesung hatten wir mittels der abstrakten Schnittstellen-Basisklasse 'dsolve' ein allgemeines System von Differenzialgleichungen numerisch mittels des Runge-Kutta Ordnung vier Verfahrens gelöst. Diese Basisklasse verwendeten wir dann z.B. zum numerischen Lösen der Planetenbewegungen (siehe Planetenbewegungen und das n-Körper-Problem) und das dort beschriebene C++ Programm verwenden wir nun auch in dieser Vorlesung zum Lösen der Geodätengleichung. Die numerische Lösung erfolgt mittels des C++ Header File GeodesicSchwarzschild.hpp und des Hauptprogramms GeodesicSchwarzschild.cpp (näheres siehe Numerisches Lösen der Geodätengleichung mittels eines C/C++ Programmes).
Am Ende des Hauptprogramms werden die berechneten Lösungswerte der Simulation in die Datei 'geodesic.dat' ausgegeben. Mittels des Python-Skriptes GeodesicSchwarzschild.py kann man dann eine Animation der C++-Simulation erstellen.

• Folien der 7.Vorlesung
• Vorlesungsaufzeichnung (26.11.2026)

• Schwarze Löcher und der Deutsche Reichstag
• Der ISCO und die Photonensphäre (EinsteinPy) ('GeodSchwarzschildIII.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

• Der ISCO und die Photonensphäre (OGRePy) ('GeodSchwarzschildIII_OGRePy.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)

Vorlesung 7

In der vorigen Vorlesung hatten wir die Geodätengleichung in vorgegebener Schwarzschild-Raumzeit betrachtet und gezeigt, wie man eine Klassifizierung möglicher Bahnen von Probekörpern mittels eines definierten effektiven Potenzials $V(r,M,l)$ illustrieren kann ($M$ ist die Masse des schwarzen Lochs und $l$ der Bahndrehimpuls pro Masse $m$ des Probekörpers). Eine dieser Bahnen ist von besonderer Bedeutung, die sogenannte innerste stabile kreisförmige Bahnbewegung (der ISCO: Innermost Stable Circular Orbit). Kreisförmige Bahnbewegungen sind dadurch charakterisiert, dass der Wert des Radius sich im Laufe der Zeit nicht verändert und somit sich der radiale Abstand des Probekörpers vom schwarzen Loch gerade im Minimum des effektiven Potenzials befindet. Es muss somit $\frac{dV}{dr}=0$ gelten. Löst man diese Gleichung nach $r$ auf, so erhält man zwei Lösungen, wobei die erste (positives Vorzeichen) dem stabilen Minimum und die zweite (negatives Vorzeichen) dem instabilen Maximum entspricht: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \quad \Rightarrow \, r_\pm = \frac{l}{2 M} \left( l \pm \sqrt{l^2 -12 M^2} \right) \end{eqnarray} $$ Der ISCO hat gerade die Sattelpunkt-Eigenschaft, sodass zusätzlich $\frac{d^2V}{dr^2}=0$ gelten muss. Der Drehimpuls $l$ des Probekörpers und sein radialer Abstand vom schwarzen Loch nehmen dort die folgenden Werte an: $$ \begin{eqnarray} \frac{d V}{dr}=0 \,\,,\,\,\, \frac{d^2 V}{dr^2}=0 \quad \underbrace{\Rightarrow}_{\hbox{ISCO}} r=6 M \,\,,\,\,\, l = 2 \sqrt{3} M \end{eqnarray} $$ Kreisförmige Bewegungen um ein nicht-rotierendes schwarzes Loch sind somit nur bis zu einem Abstand von $r_{\tiny ISCO}=6 M$ möglich. Kommt man dem schwarzen Loch näher, endet man zwangsläufig in der echten Singularität. Dies gilt jedoch nur für massive Probekörper und nicht für masselose Teilchen (z.B. Photonen). Photonenbahnen unterscheiden sich im Wert des infinitesimalen Weglängenelementes $ds^2 = g_{\mu\nu} \, dx^\mu dx^\nu$. Mittels der Eigenschaft für Photonen $\left( \frac{ds}{d\tau} \right)^2=0$ vereinfacht sich die radiale Gleichung der Geodätengleichung und man kann ein effektives Potenzial definieren, welches allein von der Masse des schwarzen Lochs abhängt $$ \begin{eqnarray} && \frac{1}{l^2} \left( \frac{dr}{d\lambda} \right)^2 + V_{\tiny Photon}(r) = \frac{1}{b^2}\\ && V_{\tiny Photon}(r) = \frac{1}{r^2} \left( 1 - \frac{2 M}{r} \right) \quad, \end{eqnarray} $$ wobei der Parameter $b$ der Impaktparameter der Photonenbahn ist. Dieses Potenzial besitzt ein Maximum bei $r=3 M$ welches die innerste kreisförmige Photonenbahn darstellt, die sogenannte Photonensphäre eines schwarzen Lochs. Mit $r=3 M$ ist diese nur ein wenig vom Ereignishorizont ($r=2 M$) entfernt. Im linken Panel dieser Vorlesung werden die besprochenen Grenztrajektorien (ISCO und Photonensphäre) in einer Animation illustriert.

Die bisher besprochenen wesentlichen Eigenschaften von Schwarzen Löchern lassen sich, mit ein wenig Fantasie, in Architektur der Berliner Reichstagskuppel wieder finden (siehe Essay Black Holes and the German Reichstag).

Vorlesung 8