Grundlagen der Quantenmechanik

1. Ein eindimensionales Wellenpaket besitzt zur Zeit die Form
   
   

   a)

   Berechne Dichte

   
   

   und Stromdichte

   
   

   des Wellenpaketes und interpretiere das Ergebnis.

   b)

   Wie muss man den Normierungsfaktor wählen, wenn ein einzelnes freies Teilchen beschreiben soll?

   c)

   Bestimme die Impulsverteilung des Wellenpaketes und diskutiere an diesem Beispiel die Unschärferelation.

   d)

   Berechne die Zeitentwicklung des Wellenpaketes und zeige, dass es mit der Zeit zerfließt.

   Hinweis: Bei Teilaufgabe c) werden Sie auf ein Integral geführt, das Sie am einfachsten mittels quadratischer Ergänzung des Exponenten und Verwendung des Fehlerintegrals
   
   berechnen können. Das Fehlerintegral und eine geeignete Substitution können auch bei Teilaufgabe b) hilfreich sein.




2. Zeige für den eindimensionalen Fall die Gültigkeit der Ehrenfest'schen Sätze für kartesische Koordinaten:
   
   
   
   mit dem Hamilton-Operator
   
   





3. Normieren Sie die folgenden Wellenfunktionen:

   a)

   

   b)

   





4. Gegeben ist die Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension zu
   
   

   a)

   Normieren Sie .

   b)

   Berechnen Sie die Erwartungswerte der Operatoren und .

   c)

   Zeigen Sie, dass gilt

   
   

   wobei eine differenzierbare Funktion von ist.





5. Betrachten Sie ein Teilchen, das durch die Wellenfunktion beschrieben wird und der Schrödinger-Gleichung genügt.

   a)

   Zeigen Sie die Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung

   
   

   mit und . Interpretieren Sie den Erhaltungssatz! Kennen Sie eine andere Theorie, in der eine Kontinuitätsgleichung gilt?

   b)

   Betrachten Sie die Wellenfunktion

   
   

   Finden Sie den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsstrom und interpretieren Sie ihn.

   c)

   Zeigen Sie, dass für ein eindimensionales, quadratintegrables Wellenpaket gilt

   
   





6. Zeige: Ein imaginäres Potential in der Schrödinger-Gleichung
   
   beschreibt die Anwesenheit von Quellen und Senken der Wahrscheinlichkeit.




7. Berechne die Kommutatoren:

   a)

   

   b)

   

   c)

   

   d)

   

   Diskutiere die Ergebnisse.

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