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a)

Die Schrödinger-Gleichung ist

ist hier reell, das komplex Konjugierte von (1) ist

Nach Definition ist , daraus folgt

Wir setzen (1) und (2) in (3) ein:

Gleichung (4) können wir auch schreiben als

Jetzt benutzen wir

und erhalten aus (5)

Durch den Vergleich mit (4) erhält man schließlich die Kontinuitätsgleichung

b)

Wellenfunktion:
Stromdichte:
Die ,,Zutaten``der Rechnung sind gegeben durch

Damit folgt für die Stromdichte nach kurzer Rechnung

Zur Interpretation:
ist die Superposition von zwei Teilchenströmen, die sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Jeder der Teilchenströme ist konstant und zeitunabhängig in seiner Größe. Der Term zeigt, dass die Teilchen die Energie haben. Die Amplituden der Teilchenströme sind und .

c)

Nach Voraussetzung ist das Integral endlich, d.h. . Zu berechnen ist

Partielle Integration ergibt:

Einsetzen führt schließlich auf