Potentialschwelle

Als einfachstes Beispiel betrachten wir nun eine Potentialschwelle der Form

$$V(x)=\begin{cases}0 & \text{f\uml {u}r $x<0$}\\ V_0& \text{f\uml {u}r $x>0$,} \end{cases}$$ (45)

wobei $V_0>0$ ist (s. Abb. 2).

Abbildung 2: Die Potentialschwelle.

Dann sind unsere asymptotischen Lösungen für die ganzen Bereiche $x<0$ und $x>0$ exakt. Da das Potential nirgends negativ wird, gibt es keine gebundenen sondern nur ungebundene Zustände der beiden Typen. Wir haben also als Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung mit nach rechts laufenden Wellen für $x \rightarrow \infty$ für $E>V_0$:

$$\psi_E(x)=\begin{cases}\theta(-x) [A_1 \exp(\ii k_1 x)+B_1 \exp(-... ...-\ii k_1 x)] + \theta(x) A_2 \exp(\ii k_2 x) & \text{falls $E>V_0$} \end{cases}$$ (46)

mit $k_1=\sqrt{\epsilon}, \quad \kappa_2=\sqrt{U_0-\epsilon}$ und $k_2=\sqrt{\epsilon-U_0}$, wobei wir wieder zur Abkürzung $\epsilon=2mE/\hbar^2$ und $U_0=2 m V_0/\hbar^2$ geschrieben haben.

Die Konstanten unterliegen nun der Einschränkung, daß die Lösungen zweimal differenzierbar sein müssen. Es müssen daher $\psi_E$ und $\psi_E'$ bei $x=0$ stetig sein. Zusammen mit der Normierungsvorschrift (37) ergeben sich aus diesen Stetigkeitsbedingungen für die Koeffizienten

$$\begin{split}&A_1=\sqrt{\frac{m}{2 \pi \hbar^2 k_1}}, \quad A... ...-k_2}{k_1+k_2} A_1 \quad \text{f\uml {u}r $E>V_0$}. \end{split}$$ (47)

Das Wellenpaket ist dann wieder durch Gl. (43) gegeben.

Ein erstes physikalisches Verständnis für diese Wellenfunktionen ergibt eine Betrachtung, die analog zur Behandlung der realistischeren Streuprozesse im dreidimensionalen Raum ist. Dabei interessiert man sich nur für das asymptotische Verhalten der Teilchen, d.h. wenn sie sich weit weg von der Schwelle bei $x=0$ aufhalten.

Dabei müssen wir bedenken, daß die Wellenfunktionen $\psi_E$ keine ,,echten`` Zustände repräsentieren, da sie nicht quadratintegrabel und somit nicht normierbar sind. Sie können aber als Grenzfall von echten Zuständen gedeutet werden, nämlich gerade solche, wo

$$c_E=\delta(E-E_0)$$ (48)

ist. Wir können uns also z.B. sehr schmale um $E_0$ konzentrierte Gaußfunktionen vorstellen, wobei wir den Grenzfall verschwindender Breite betrachten. Physikalisch können wir deren Bedeutung nur verstehen, wenn wir bedenken, daß es sich um Wahrscheinlichkeitsamplituden handelt. Demnach repräsentieren die ebenen Wellen, aus denen sich unsere Energieeigenlösungen zusammensetzen, einen sehr lange in der Vergangenheit eingeschalteten Strom von links her auf die Schwelle zulaufenden (statistisch unkorrelierten) Teilchen mit sehr genau festgelegter Energie. Die Betragsquadrate der Energieeigenfunktionen geben dann relative Häufigkeiten an, die mit einem Detektor, der sehr lange die Teilchen an einem bestimmten Ort $x$ zählt, gemessen werden können.

Stellen wir den Detektor irgendwo links weit weg von der Schwelle auf, wird er sowohl die einlaufenden als auch die an der Schwelle reflektierten Teilchen messen. Ein sehr weit rechts positionierter Detektor wird die Teilchen erfassen, die die Schwelle überwinden. Wir können also im Prinzip die auf den Strom der einlaufenden Teilchen normierten Wahrscheinlichkeiten messen, daß ein Teilchen, das mit einer wohldefinierten Energie $E$ sehr weit links von der Schwelle losläuft, irgendwann reflektiert wird bzw. die Schwelle überwindet und sehr weit weg nach rechts läuft. Diese relativen Ströme bezeichnen wir als Reflexions- bzw. Transmissionskoeffizienten². Gemäß (24) sind für unsere Schwelle die Koeffizienten durch

$$\begin{split}R &=\frac{j_{-\infty}^{\text{L}}}{j_{-\infty}^{\... ..._1+k_2)^2} & \text{f\uml {u}r $E>V_0$}, \end{cases} \end{split}$$ (49)

Wegen der Stromerhaltung gilt

$$R+T=1,$$ (50)

wie es aufgrund der Interpretation von $R$ und $T$ als Reflexions und Transmissionswahrscheinlichkeiten eines Teilchens auch sein muß.

Für unsere Movies wollen wir die Wahrscheinlichkeitsdichten für ein anfangs bei $x_0 \ll 0$ konzentriertes nach rechts auf die Potentialschwelle zulaufendes Wellenpaket als Funktion der Zeit simulieren. Dies erreichen wir, indem wir $C_E$ gemäß (42) wählen.

Dies entspricht physikalisch der Situation, daß wir einen Strom von jeweils einem einzelnen recht gut lokalisierten Teilchen beobachten und an jedem Ort $x$ einen Detektor aufstellen, der jedesmal die Zeit erfaßt, die nach dem Losschicken des Teilchens vergangen ist, wann er das Teilchen registriert. Dann kann man wieder die relativen Häufigkeiten als Funktion der Zeit erfassen, und erhält dann genau die Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die wir im folgenden in den Movies zeigen wollen.

Dabei ist es wichtig zu bemerken, daß aufgrund der Heisenbergschen Unschärferelation für Ort und Impuls

$$\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$$ (51)

der Anfangsimpuls $p_0$ relativ unbestimmt sein muß, wenn man ein auf einen relativ engen Ortsbereich um $x_0$ fixiertes Teilchen präprieren müßte. Da das Teilchen für $x_0 \ll 0$ als frei betrachtet werden kann, besitzt es eine entsprechende Energieunschärfe

$$\Delta E \simeq \frac{p_0}{m} \Delta p.$$ (52)

Selbst wenn wir also ein Wellenpaket mit $0<E_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{\hbar^2 k_0^2}{2m}<V_0$ in Gl. (42) konstruieren, wird dieses immer auch eine (wenngleich kleine) Beimmischung von Wellen $E>V_0$ beinhalten, was erklärt, daß in der Tat mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit, Teilchen jenseits der Schwelle detektiert werden können, ohne daß dies dem Energieerhaltungssatz widerspricht. Dies löst das scheinbare Paradoxon zwischen quantenmechanischem Tunneleffekt und Energieerhaltungssatz für realistische Wellenpakete, die einer quasi-klassischen Situation entsprechen, auf. Genau diese Situation betrachten wir nun in dem folgenden Movie: