Das freie Teilchen, also der Fall läßt sich einfacher mit
Hilfe von Impulseigenzuständen behandeln. Wir haben auf den
Aufgabenblättern 1 und 2 das Gaußsche Wellenpaket für freie Teilchen
ausführlich behandelt. Für unsere Simulationen wollen wir dieses
Wellenpaket für
als Anfangszustand konstruieren. Wir arbeiten
aber wie oben betont in dem Unterraum mit nur nach
hin auslaufenden Wellen. Die entsprechende auf
,,normierte” Energieeigenfunktion ist nach den obigen
allgemeinen Betrachtungen also durch
Wir verwenden nun folgende
Näherung. Im Impulsraum (geschrieben mit Wellenzahlen )
lautet das Anfangswellenpaket, das wir allerdings nicht um
herum
plazieren wollen, sondern bei
:
Zur Herstellung der Movies wird dieses Integral mit einer einfachen
adaptiven Trapez-Simpson-Quadratur numerisch ausgewertet. Dabei ist es
wegen der Singularität des Anfangszustandes (42) bei
allerdings von Vorteil, nach
zu integrieren. Es ist
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(44) |
Die numerische Auswertung zeigt, daß dieses Wellenpaket (in rot gezeichnet) in der Tat mit großer Genauigkeit unser Wellenpaket (blau gestrichelt) aus Hausübung 2 reproduziert:
Hendrik van Hees