Zur Normierung der Energieeigenfunktionen

Während die Normierung der Energieeigenfunktionen für diskrete Energieeigenwerte, also für gebundene Zustände, gemäß (5) kein prinzipielles Problem darstellt, müssen wir die Normierung auf die $\delta$-Distribution für ungebundene Zustände genauer ansehen. Für die Eigenfunktionen zu einfachen Eigenwerten ist es klar, daß das Nomierungsintegral in (5) $\propto \delta(E-E')$ ist, und wir müssen lediglich den Koeffizienten bestimmen. Für die doppelt entarteten Eigenzustände ist es nicht unmittelbar klar, daß irgendwelche zwei linear unabhängigen Lösungen orthogonal zueinander sind, aber wir können stets Linearkombinationen finden, die orthogonal sind.

Wir können also annehmen, daß die Eigenfunktionen einer vollständigen Basis allesamt zueinander orthogonal sind. Es bleibt uns also lediglich noch die Normierung für die ungebundenen Zustände zu bestimmen.

Beginnen wir mit dem Fall $0 < E,E' \leq V_0$. Wir haben dann, wie eben überlegt,

$$\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \psi_{E}^*{(x)} \psi_{E'}(x)=C(E) \delta(E-E').$$ (33)

Zur Bestimmung der Normierung ist also nur derjenige Anteil des Integrals entscheidend, der für $E \rightarrow E'$ divergiert, und diese Divergenz kann aufgrund des asymptotischen Verhaltens, s. (13) und (15) bzw. (23) nur von der unteren Integrationsgrenze $-\infty$ herrühren. Wir können also bis auf einen Fehler, der im Limes $E \rightarrow E'$ endlich bleibt, die Normierung aus dem asymptotischen Verhalten für $x \rightarrow -\infty$ bestimmen. Dazu wählen wir zunächst den Phasenfaktor der Wellenfunktion so, daß (23) gilt. Dann ist für $E \simeq E'$

$$\begin{split}\int_{-\infty}^{0} \dd x & \tilde{A}(E) \tilde{A... ...k_1') = 2 \pi \vert A_1(E)\vert^2 \delta(k_1-k_1'). \end{split}$$ (34)

Darin bedeutet $\sim$ Gleichheit bis auf im Limes $E \rightarrow E'$ endlich bleibende Beiträge. Weiter ist

$$\delta(k_1-k_1')=\delta \left(\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}} - \sqr... ...frac{2 E}{m}} \delta(E-E')=\frac{\hbar^2 k_1}{m} \vert A_1\vert^2 \delta(E-E').$$ (35)

Wir müssen also die Wellenfunktion so normieren, daß die Koeffizienten $A_1$ und $B_1$ in (13) die Bedingung

$$\frac{\hbar k_1}{m} \vert A_1\vert^2=\frac{\hbar k_1}{m} \vert B_1\vert^2=\frac{1}{2 \pi \hbar}.$$ (36)

erfüllen, wobei $\vert A_1\vert^2=\vert B_1\vert^2$ aus der Stromerhaltung folgte (vgl. Abschn. 1.3, Gl. (21)). Anders ausgedrückt muß die Wellenfunktion so normiert sein, daß der Anteil des Stromes, der von $x \rightarrow -\infty$ auf den Ursprung $x=0$ zufließt, d.h. gem. (21)

$$j_{-\infty}^{(\mathrm{R})}=\frac{\hbar k_1}{m} \vert A_1\vert^2=\frac{1}{2 \pi \hbar}$$ (37)

normiert ist.

Für $E>V_0$ haben wir das Problem, daß es zu jedem Energieeigenwert zwei linear unabhängige Lösungen gibt.

Im folgenden wollen wir die Situation betrachten, daß ein Wellenpaket, das zur Zeit $t=0$ auf einen Ort $x_0 \rightarrow -\infty$ konzentriert ist und nach rechts läuft. Dann muß zu jeder späteren Zeit der Teil des Wellenpakets im Bereich $x \rightarrow \infty$ ausschließlich nach rechts laufen. D.h. wir wählen für jeden Energieeigenwert $E>V_0$ die Eigenfunktion aus, für die

$$\psi_E(x) \asy \begin{cases}A_1 \exp(\ii k_1 x)+B_1 \exp(-\ii k_1... ... \\ A_2 \exp(+\ii k_2 x) & \text{f\uml {u}r $x \rightarrow \infty$} \end{cases}$$ (38)

ist¹.

Die Normierung bestimmen wir ganz analog wie eben im Fall $0<E<V_0$, wobei freilich beide asymptotischen Regionen berücksichtigt werden müssen. Es ergibt sich die Vorschrift, daß die Wellenfunktion wieder gemäß (37) normiert sein muß. Im Falle der kontinuierlichen Eigenwerte bestimmt also die Norm des bei $x \rightarrow -\infty$ nach rechts laufenden Wellenpaketes die Normierung.

Die Zeitentwicklung dieser Wellenpakete ist dann gem. (6) durch

$$\begin{split}\Psi(x,t)= &\sum_{n} c_n \psi_{n}(x) \exp \left ... ...si_E(x) \exp \left (-\frac{\ii E t}{\hbar} \right ) \end{split}$$ (39)

gegeben. Wie wir eben gesehen haben, bilden diese Wellenfunktionen jedoch zusammen mit den übrigen ungebundenen und gebundenen Wellenfunktionen kein vollständiges Orthonormalsystem, weil wir diejenigen Wellenpakete nicht berücksichtigt haben, die in der Region $x \rightarrow \infty$ nach links laufende Anteile besitzen. Wir sondern jedoch diese Lösungen aus, um die oben beschriebene physikalische Situation eines von links her einlaufenden Wellenpakets zu beschreiben.