Asymptotik der Energieeigenfunktionen

Betrachten wir nun also das Energieeigenwertproblem für die Potentiale der oben beschriebenen Art. Zur Vereinfachung führen wir die folgenden Variablen ein:

$$\epsilon=\frac{2m}{\hbar^2} E, \quad U(x)=\frac{2m}{\hbar^2} V(x).$$ (9)

Dann können wir (4) in der Form

$$\psi_E''(x)=[U(x)-\epsilon] \psi_E(x)$$ (10)

schreiben. Wir wollen nun die Form der Wellenfunktion für $x \rightarrow \pm \infty$ herausfinden.

Für $x \rightarrow -\infty$ lautet die zeitunabhängige Schrödingergleichung (10) aufgrund der Annahmen über das asymptotische Verhalten des Potentials (2)

$$\psi_E''(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} -\epsilon \psi(x).$$ (11)

Diese lineare Differentialgleichung besitzt zwei linear unabhängige Lösungen $\exp(\pm \ii \sqrt{\epsilon} x)$, so daß die allgemeine Lösung eine Superposition dieser beiden Lösungen sein muß:

$$\psi_E(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} A_1 \exp(+\ii \sqrt{\epsilon} x) + B_1 \exp(-\ii \sqrt{\epsilon} x).$$ (12)

Wir müssen nun noch genauer über die möglichen Energieeigenwerte nachdenken. Falls nämlich $\epsilon>0$, so ist $\psi_E$ für $x \rightarrow -\infty$ in jedem Falle ein ungebundener Zustand, d.h. $\epsilon$ liegt im kontinuierlichen Spektrum, und es gibt keine weiteren Einschränkungen an $\epsilon$ vom asymptotischen Verhalten im Unendlichen, und dann sind allgemeine $A_1$ und $B_1$ in (12) erlaubt. Falls aber $\epsilon \leq 0$, so ist genauer $\sqrt{\epsilon}=\ii \sqrt{\vert\epsilon\vert}$ zu schreiben, und damit die Wellenfunktion für $x \rightarrow \infty$ nicht exponentiell (bzw. für $\epsilon=0$ linear) anwächst, muß notwendig $A_1=0$ sein, d.h. wir haben genauer

$$\psi_E(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} \begin{cases}A_1 \exp(\ii ... ...ppa_1=\sqrt{\vert\epsilon\vert}$,}& \text{falls $\epsilon \leq 0$.} \end{cases}$$ (13)

Für $x \rightarrow +\infty$ ergibt sich

$$\psi_E''(x) \asy_{x \rightarrow +\infty} (U_0-\epsilon) \psi(x),$$ (14)

und wir können exakt analoge Überlegungen wie eben anstellen. Es ergibt sich dann schließlich

$$\psi_E(x) \asy_{x \rightarrow +\infty} \begin{cases}A_2 \exp(\ii ... ...appa_2=\sqrt{U_0-\epsilon}$,}& \text{falls $\epsilon \leq U_0$.} \\ \end{cases}$$ (15)

Nun können wir die verschiedenen möglichen Fälle für $\epsilon$ im Hinblick auf das Verhalten der Wellenfunktionen analysieren

• $\epsilon \leq 0$: Dies entspricht gemäß (13) und (15) mit Sicherheit gebundenen Zuständen, d.h. die Wellenfunktion fällt für $x \rightarrow \pm \infty$ exponentiell ab, d.h.

  $$\begin{split}\psi_E(x) &\asy_{x\rightarrow -\infty} B_1 \exp(... ...x) \quad \text{mit $\kappa_1=\sqrt{U_0-\epsilon}$}. \end{split}$$ (16)

  
  
  Wir werden weiter unten noch zeigen, daß diesen $\epsilon$ notwendig diskrete Energieeigenwerte $E=\hbar^2 \epsilon/(2m)$ entsprechen. Daß es sich um gebundene Zustände handeln muß, wird auch physikalisch verständlich, wenn man sich das analoge klassische Problem vor Augen führt: Wenn $E<0$ ist, kann das Teilchen weder nach $x \rightarrow \infty$ noch nach $x \rightarrow -\infty$ laufen, da sonst der Energiesatz verletzt würde, denn die potentielle Energie $p^2/(2m)=m v^2/2$ ist notwendig positiv und das Potential nach Annahme asympotisch gleich 0 bzw. $V_0>0$. Damit also gebundene Zustände überhaupt möglich werden, muß das Potential irgendwo negativ werden, also eine Art ,,Potentialmulde``bilden (vgl. Abb. 1). Unsere eben gefundenen asymptotischen Lösungen zeigen aber, daß eine von 0 verschiedene Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens außerhalb des klassisch erlaubten Bereiches gibt! Dieses Phänomen ist klassisch nicht erklärbar und wird als Tunnel- oder Gamov-Effekt bezeichnet.

• $0 \leq \epsilon \leq U_0$: Gemäß (13) und (15) kann sich das Teilchen nach $x \rightarrow -\infty$ hin quasi-frei bewegen, nicht aber nach $x \rightarrow \infty$. Es sind alle $E=\hbar^2 \epsilon/(2m)$ in diesem Bereich erlaubt, so daß $E$ in diesem Falle zum kontinuierlichen Bereich der Energieeigenwerte gehört. Da für $x \rightarrow \infty$ nur genau eine, nämlich die exponentiell fallende Lösung erlaubt ist, gibt es zu jedem Wert für $E$ genau eine Energieeigenfunktion, d.h. dieser Teil der Energieeigenwerte ist nicht entartet. Auch hier haben wir wieder einen Tunneleffekt. Der Bereich $x \rightarrow \infty$ ist wie oben erläutert für das Teilchen verboten, aber die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist dort nicht 0.

• $\epsilon>U_0$: Gemäß (13) und (15) ist das Teilchen bzgl. der Bewegung nach beiden Richtungen $x \rightarrow \pm \infty$ ungebunden. Die entsprechenden Energieeigenwerte sind also alle erlaubt und gehören somit zum kontinuierlichen Teil der Eigenwerte. In beiden Regionen sind allgemeine Superpositionen aus zwei Lösungen erlaubt, d.h. in diesem Bereich sind die Eigenwerte zweifach entartet. Auch das ist an dem klassischen Analogon verständlich: Das Teilchen kann in diesem Fall bei vorgegebener Energie in beiden asymptotischen Regionen sowohl nach rechts (entsprechend den Wellenfunktionen mit Koeffzienten $A_{1,2}$) bzw. links (entsprechend den Wellenfunktionen mit Koeffizienten $B_{1,2}$ laufen.

Abbildung: Potential und qualitatives Energieeigenwertspektrum zum zugehörigen Schrödingerschen Energieeigenwertproblem.