Kontinuitätsgleichung

Wir können weitere recht allgemeine Schlüsse aus dem asymptotischen Verhalten der Wellenfunktionen ziehen, wenn wir die Kontinuitätsgleichung für den hier diskutierten eindimensionalen Fall heranziehen. Aus der zeitabhängigen Schrödingergleichung (1) folgt sofort, daß die Gleichung

$$\begin{split}& \partial_t \varrho(x,t)+\partial_x j(x,t)=0 \q... ...ac{\hbar}{m} \im [\Psi^*(x,t) \partial_x \Psi(x,t)] \end{split}$$ (17)

gilt. Für eine quadratintegrable Funktion $\Psi(x,t)$ bedeutet dies, daß die Normierung der Wellenfunktion mit der Zeit konstant bleibt (s. Vorlesung), d.h. hat man $\Psi$ zur Zeit $t=0$ auf $1$ normiert, so ist dies automatisch auch für alle späteren Zeiten gewährleistet, vorausgesetzt $\Psi$ erfüllt die Schrödingergleichung. Mathematisch gesehen ist dies Folge der Unitarität des Zeitentwicklungsoperators, die aus der Hermitezität des Hamiltonoperators folgt.

Für die Energieeigenfunktionen

$$\Psi_E(x,t)=\exp \left (-\frac{\ii E t}{\hbar} \right) \psi_E(x),$$ (18)

wobei hier $E$ sowohl im diskreten als auch im kontinuierlichen Teil des Spektrums liegen darf, ist offenbar die Wahrscheinlichkeitsdichte $\varrho$ zeitlich konstant. Dies zeichnet die Energieeigenfunktionen physikalisch als die stationären Zustände des Systems aus: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung als die in der Wellenfunktion enthaltene physikalisch relevante Information ist zeitlich konstant. Demgemäß muß aufgrund der Kontinuitätsgleichung auch der Strom zeitlich konstant sein. In der Tat folgt für die Wellenfunktion (18)

$$j_E(x,t)=j_E(x)=\frac{\hbar}{m} \im [\psi_E^*(x) \psi_E'(x) ].$$ (19)

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt weiter

$$\partial_t \varrho_E(x,t)=0=-j_E'(x) \, \rightarrow \, j_E(x)=j_E= .$$ (20)

Der Strom ist also eine Konstante.

Wir können nun den Strom für die Energieeigenzustände aus dem oben hergeleiteten asymptotischen Verhalten bestimmen.

Für gebundene Zustände ($E<0$) und die Zustände zu den einfach entarteten Energieeigenwerten im Kontinuierlichen Spektrum $0 \leq E <V_0$, ergibt sich für $x \rightarrow \infty$, daß $j_E = 0$ sein muß.

Für $0 \leq E <V_0$ gilt andererseits im Limes $x \rightarrow -\infty$

$$j_E=0=\frac{\hbar k_1}{m} (\vert A_1\vert^2-\vert B_1\vert^2).$$ (21)

Es muß also $\vert A_1\vert=\vert B_1\vert:=1/2\vert\tilde{A}_1\vert$ sein. Durch geeignete Wahl der Phasenfaktoren der entsprechenden beiden nach rechts bzw. links laufenden Teilwellen, können wir demnach stets erreichen, daß mit $\tilde{A}=\vert\tilde{A}_1\vert$ gilt

$$A_1=\frac{1}{2} \tilde{A} \exp(+\ii \delta_1) \quad B_1=\frac{1}{2} \tilde{A} \exp(-\ii \delta_1),$$ (22)

und dies in (15) eingesetzt ergibt

$$\psi_E(x) \asy_{x \rightarrow -\infty} \tilde{A} \cos(k_1 x+\delta).$$ (23)

Für $E>V_0$ ergibt die Stromerhaltung für die Koeffizienten der asymptotischen Wellenfunktion $x \rightarrow \pm \infty$

$$j_E=\frac{\hbar k_1}{m}(\vert A_1\vert^2-\vert B_1\vert^2)=\frac{\hbar k_2}{m}(\vert A_2\vert^2-\vert B_2\vert^2).$$ (24)

Wir wenden uns nun nochmals den möglicherweise existierenden gebundenen Zuständen zu. Vernachlässigen wir einen Moment die Bedingung der Quadratintegrabialität der Wellenfunktionen, gibt es i.a. zu jedem $E<0$ zwei linear unabhängige Lösungen, die sich jeweils so wählen lassen, daß die eine im positiv Unendlichen, die andere im negativ Unendlichen exponentiell fällt:

$$\begin{split}\psi_E^{(+)} & \begin{cases}\asy_{x \rightarrow ... ...\kappa_2 x)+B_2^{(-)} \exp(\kappa_2 x). \end{cases} \end{split}$$ (25)

Es kann also nur dann ein gebundener Zustand vorliegen, wenn $\psi_E^{(+)}=C \psi_{E}^{(-)}$ mit $C=$const. Dies zeigt, wie schon oben erläutert, daß die zu gebundenen Zuständen gehörigen Energieeigenwerte $E<0$ nicht entartet sind, d.h. wenn ein gebundener Zustand existiert, ist die dazugehörige Eigensfunktion bis auf eine Normierungsonstante eindeutig bestimmt.

Wir betrachten nun die Wronskideterminante zu zwei Lösungen von (10) zu Energieeigenwerten $E$ und $E'$

$$W(\psi_{E},\psi_{E'};x):=\psi_{E}(x) \psi_{E'}'(x)-\psi_{E}'(x) \psi_{E'}(x).$$ (26)

Aus (10) folgt dann unmittelbar

$$\partial_x W(\psi_{E},\psi_{E'};x)=-(\epsilon-\epsilon') \psi_{E} \psi_{E'}.$$ (27)

Für irgendein festes $a \in \R$ ist also

$$W_a(\psi_{E},\psi_{E'};x):=W(\psi_{E},\psi_{E'};x)-W(\psi_{E},\psi_{E'};a) = -(\epsilon-\epsilon') \int_a^{x} \dd x' \psi_E(x') \psi_{E'}(x).$$ (28)

Es seien weiter zu jedem Wert $E$ die Funktionen $\psi_E^{(a)}$ die Lösungen der Schrödingergleichung mit fixierten Anfangsbedingungen bei $x=a$: $\psi_{E}^{(a)}(x=a)=C_1$, $\psi_{E}^{(a)}{}'(x=a)=C_2$. Für diese Funktionen gilt dann offenbar $W_a=W$.

Jetzt betrachten wir die Ableitung von $W$ für diese Funktionen nach $\epsilon$ in der Umgebung eines Eigenwertes im kontinuierlichen Spektrum. Bezeichne dazu $\delta$ die Variation der jeweiligen Größe bei einer Änderung von $E$ zu $E+\delta E$ bzw. $\epsilon$ zu $\delta \epsilon$. Dann folgt einerseits aus (28)

$$\delta W_a=W(\psi_E^{(a)},\psi_E^{(a)}+\delta \psi_{E}^{(a)};x) =... ...elta \psi_{E}^{(a)};x)=-\delta \epsilon \int_{a}^{x} \dd x [\psi_E^{(a)}(x)]^2.$$ (29)

Andererseits folgt für

$$f_E^{(a)}(x)=\frac{\psi_E^{(a)}{}'(x)}{\psi_E^{(a)}(x)}$$ (30)

bei Variation nach $E$:

$$\delta f_E^{(a)}(x) = \frac{W(\psi_E^{(a)},\delta \psi_E^{(a)};x)}{[\psi_E^{(a)}]^2}$$ (31)

Kombiniert man dies mit (29), erhält man

$$\partial_{\epsilon} f_E^{(a)}(x)=-\frac{1}{[\psi_E^{(a)}(x)]^2} \int_{a}^{x} \dd x [\psi_E^{(a)}(x)]^2.$$ (32)

Das bedeutet, daß die logarithmische Ableitung der Energieeigenfunktionen zu fixierten Anfangsbedingungen bei $x=a$ monoton fallend für $x>a$ und monoton wachsend für $x<a$ als Funktionen von $E$ (bzw. $\epsilon$) sind.

Nehmen wir nun an, es sei $E<0$ ein Eigenwert im kontinuierlichen Teil des Eigenwertspektrums. Wir können dann für die Wellenfunktionen $\psi_E^{(\pm)}$ offenbar $a \rightarrow \pm \infty$ wählen. Die Funktion $f_E^{(+)}(x)$ ist also bei festgehaltenem $x$ als Funktionen von $E$ stets monoton wachsend und $f_E^{(-)}(x)$ monoton fallend. Wie wir oben gezeigt haben, müssen die Wellenfunktionen $\psi_{E}^{(\pm)}$ aber (bis auf eine multiplikative Konstante) gleich sein, und das bedeutet $f_E^{(+)}=f_E^{(-)}$. Dies ist ein Widerspruch, und daher muß jedes $E<0$ notwendig zum diskreten Spektrum gehören.