Problemstellung

Im folgenden betrachten wir Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung für die eindimensionale Bewegung eines Teilchens in einem Potential entlang der $x$-Achse:

$$\ii \hbar \partial_t \Psi(x,t)=\op{H} \Psi(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \Psi(x,t) + V(x) \Psi(x,t).$$ (1)

Wir werden uns auf die grundlegenden physikalischen Argumente beschränken. Eine ausführlichere Behandlung der mathematischen Struktur der Schrödingergleichung findet sich in [Mes99].

Wir betrachten Potentiale, die im Unendlichen bestimmten konstanten Grenzwerten zustreben:

$$\lim_{x \rightarrow \infty} V(x)=V_0, \lim_{x \rightarrow -\infty} V(x)=0.$$ (2)

Dabei muß die Konvergenz gegen diese Werte schneller als mit $1/x$ erfolgen, d.h. es soll genauer

$$\lim_{x \rightarrow \infty} x[V(x)-V_0]=0, \quad \lim_{x \rightarrow -\infty} x V(x)=0$$ (3)

gelten. Es ist klar, daß die Wahl 0 des Grenzwertes für $x \rightarrow 0$ keine Beschränkung der Allgemeinheit bedeutet, da wir in dem Falle, daß das Potential dort gegen einen anderen Grenzwert strebt, durch eine einfache Verschiebung des Energienullpunkts die hier betrachtete Situation herstellen können, ohne daß dies den physikalischen Gehalt der Betrachtung ändert.

Wir können nun die allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung (1) nach Energieeigenfunktionen entwickeln. Die Energieeigenfunktionen sind durch das Eigenwertproblem

$$\op{H} \psi_E(x)=-\frac{\hbar^2}{2m} \psi_E''(x) + V(x) \psi_E(x)=E \psi_E(x)$$ (4)

gegeben. Dabei wird i.a. die Menge der Energieeigenwerte sowohl einen diskreten als auch einen kontinuierlichen Anteil enthalten. Wie wir gleich sehen werden, entsprechen die diskreten Energieeigenwerte gebundenen Zuständen, denn die dazugehörigen Energieeigenfunktionen $\psi_E$ sind quadratintegrabel und können auf $1$ normiert werden. Die Eigenfunktionen zu kontinuierlichen Eigenwerten besitzen im Unendlichen asymptotisch den Charakter ebener Wellen und beschreiben dort somit die ungebundene ,,quasifreie``Bewegung des Teilchens. Diese Wellenfunktionen werden auf die $\delta$-Distribution in der Energie normiert.

Numerieren wir die diskreten Energieeigenwerte und -eigenfunktionen mit $n \in \N$ durch (dabei können je nach der konkreten Form des Potentials i.a. sowohl endlich oder unendlich viele als auch gar keine diskreten Energieeigenwerte existieren) und bezeichnen die Menge der kontinuierlichen Eigenwerte mit $C_E \subseteq \R$, so verlangen wir also

$$\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \, \psi_{n'}^*(x) \psi_{n}(x)=\delt... ... \quad \int_{-\infty}^{\infty} \dd x \, \psi_{E'}^*(x) \psi_{E}(x)=\delta(E-E') \quad E,E' \in C_E.$$ (5)

Daß die Eigenfunktionen zu verschiedenen Energieeigenwerten orthogonal zueinander sind, folgt allgemein aus der Hermitezität des Hamiltonoperators (s. Vorlesung).

Es ist dann leicht zu zeigen, daß in der Tat jede Funktion

$$\Psi(x,t)=\sum_{n} c_n \exp \left(-\frac{\ii E_n t}{\hbar} \right... ... + \int_{C_E} \dd E \, c(E) \exp \left(-\frac{\ii E t}{\hbar} \right) \psi_E(x)$$ (6)

die zeitabhängige Schrödingergleichung (1) löst.

Wie man leicht mit Hilfe der Orthonormierungsbedingungen (5) nachweist (vgl. Präsenzübung 6 c), hängt die Normierung von $\Psi(x,t)$ mit der Normierung der $c_n$ und $c(E)$ zusammen vermöge

$$\int_{-\infty}^{\infty} \vert\Psi(x,t)\vert^2=\sum_n \vert c_n\vert^2 + \int_{C_E} \dd E \vert c(E)\vert^2 \stackrel{!}{=} 1.$$ (7)

Bei vorgegebener Anfangswellenfunktion $\Psi(x,t=0)$ sind die Koeffizienten $c_n$ und $c(E)$ in (6) durch

$$c_n=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \, \psi_n^*(x) \Psi(x,t=0), \quad c(E)=\int_{-\infty}^{\infty} \dd x \, \psi_E^*(x) \Psi(x,t=0)$$ (8)

bestimmt (man rechne das nach!). Haben wir uns die Energieeigenwerte und Energieeigenfunktionen beschafft, können wir also die Schrödingergleichung bei irgendeiner vorgegebenen Anfangsbedingung lösen, wobei i.a. die Entwicklung (6) i.a. nur numerisch konkret ausgewertet werden kann.