Aufgaben - Kapitel 3

1. Diskutieren Sie die allgemeine Lösung
   
   des harmonischen Oszillators
   

   a)

   Zu welcher Zeit erreicht der Oszillator seinen Maximalausschlag ? Wie groß ist ? Welchen Wert hat die Beschleunigung zur Zeit ?
   Hinweis :

   b)

   Zu welcher Zeit erreicht der Oszillator seine Maximalgeschwindigkeit ? Wie groß ist ? Wie groß ist die Auslenkung zur Zeit ? Welche einfache Beziehung besteht zwischen und ?

   c)

   Zu welcher Zeit erfährt der Oszillator die maximale Beschleunigung ? Wie groß ist diese? Welche Werte haben Auslenkung und Geschwindigkeit zur Zeit ?





2. Machen Sie sich die Analogie zwischen einem gedämpften harmonischen Oszillator mit äußerer Kraft und einem -Kreis (Widerstand R, Induktivität L, Kapazität C) mit elektromotorischer Kraft (EMK) klar. Schreiben Sie sich dazu sowohl die Differentialgleichung des mechanischen Oszillators als auch die Ladungsdifferentialgleichung, Spannungsdifferentialgleichung und Stromdifferentialgleichung des -Kreises auf. Benutzen Sie zur 'Herleitung' der Stromdifferentialgleichung den Kirchhoffschen Spannungssatz
   
   
   
   Die Ladungsdifferentialgleichung erhalten Sie aus dem Kirchhoffschen Spannungssatz mit Hilfe der Beziehung
   
   Aus der Ladungsdifferentialgleichung gewinnen Sie mit
   
   die Spannungsdifferentialgleichung.
   Lösen Sie die Stromdifferentialgleichung für den Fall schwacher Dämpfung und einer konstanten EMK (homogene Differentialgleichung!) Es gelte sowie .




3. Betrachten Sie einen ungestörten und ungedämpften harmonischen Oszillator: eine Masse m, die an einer Feder mit der Steifigkeit befestigt ist. Zur Zeit wird der in ihrer Gleichgewichtslage ruhenden Masse eine Anfangsgeschwindigkeit erteilt, so dass der Oszillator zu schwingen beginnt. Stellen Sie die Differentialgleichung auf und lösen Sie diese. In welchem Verhältnis muss m zu k stehen, damit die Masse sich 1 Sekunde nach Beginn der Bewegung wieder in der Gleichgewichtslage befindet? Wie lautet in diesem Fall das Bewegungsgesetz des Oszillators?




4. Diskutieren Sie die allgemeine Lösung des harmonischen Oszillators aus der Sicht des Energieerhaltungssatzes.

   a)

   Warum gilt dieser?

   b)

   Benutzen Sie den Energieerhaltungssatz zur Berechnung von . Die unabhängigen Parameter sollen dabei die Gesamtenergie E und die Zeit sein, zu der der Oszillator seinen Maximalausschlag erreicht.

   c)

   Wählen Sie die Lösung nun so, dass E und die unabhängigen Parameter sind, wobei die Zeit ist, zu der der Oszillator seine maximale Geschwindigkeit annimmt.

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