Potentialtopf

Wir betrachten nun den endlich tiefen Potentialtopf, d.h.

$$V(x)=\begin{cases}-V_0 & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert<b$}, \\ 0 & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert \geq b$} \end{cases}$$ (56)

mit $V_0>0$ (vgl. Abb. 3).

Abbildung 3: Der Potentialtopf.

Dies ist insofern ein interessantes Problem als wir erwarten dürfen, daß es neben den Streuzuständen mit Energieeigenwerten $E>0$ auch gebundene Zustände mit $E<0$ gibt.

Das Problem, die Energieeigenzustände und dazugehörigen Energieeigenwerte zu finden, erleichtert sich erheblich durch die Symmetrie des Problems unter Raumspiegelungen. Der Raumspiegelungs- oder Paritätsoperator wirkt auf Wellenfunktionen vermöge

$$\op{P} \psi(x)=\psi(-x).$$ (57)

Da offenbar $\op{P}^2=\einsop$ gilt, sind mögliche Eigenwerte von $\op{P}=\pm 1$. Da sich weiter der Hamiltonoperator unter Raumspiegelungen offenbar nicht ändert, also $\op{P}^{-1} \op{H} \op{P}=\op{H}$ gilt, können wir $\op{P}$ simultan zu $\op{H}$ diagonalisieren. Wir können also die gesuchten Eigenzustände von $\op{H}$ gleich als gerade bzw. ungerade Funktionen ansetzen: $\psi_E^{(\pm)}(-x)=\pm \psi_E(x)$.

Der Vorteil bei der Lösung des vorliegenden Problems besteht darin, daß wir uns nur um die Stetigkeitsbedingungen an der Stelle $x=b$ zu kümmern brauchen. Wegen der Spiegelungssymmetrie erfüllen dann die Wellenfunktionen automatisch auch die Stetigkeitsbedingungen bei $x=-b$.