Bindungszustände mit ungerader Parität

Die Bindungszustände mit ungerader Wellenfunktion finden sich in ganz analoger Weise wie eben für die geraden Wellenfunktionen besprochen. Es gilt

$$\psi_n^{(-)}(x)=\begin{cases}B_2 \sin(k_2 x) & \text{f\uml {u}r $... ...(-\kappa_1 \vert x\vert) & \text{f\uml {u}r $\vert x\vert \geq b$.} \end{cases}$$ (68)

Die Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer Ableitung bei $x=b$ führt wieder auf ein homogenes lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $B_1$ und $B_2$. Damit nichttriviale Lösungen existieren, müssen wir wieder das Verschwinden der Koeffizientenmatrix verlangen. Dies führt nach Einführung der obigen Variablen $y$ schließlich auf die Bestimmungsgleichung

$$\cot y=-\sqrt{\frac{U_0 b^2-y^2}{y^2}}.$$ (69)

Analog zur Diskussion für die geraden Wellenfunktionen führt die Betrachtung des rechten Plots in Abb. 4 auf die Anzahl der Energieeigenwerte mit ungerader Energieeigenfunktion, nämlich

$$n_u= \begin{cases}0 & \text{falls $\sqrt{U_0 b^2}<\pi/2$},\\ \lef... ...-\frac{1}{2} \right] +1 & \text{falls $\sqrt{U_0 b^2} \geq \pi/2$}. \end{cases}$$ (70)

Falls $n_u \geq 1$ liegen die Lösungen für $y$ stets in den Intervallen

$$y_n \in \left [ \frac{2n-1}{2} \pi, n \pi \right ] \quad 1 \leq n \leq n_u.$$ (71)

Auch hier ist wieder das numerische Auffinden aller Lösungen mit Hilfe der Bisektionsmethode problemlos möglich.

Für den $y_n$ entsprechenden Energieeigenwert ergibt sich dann aus der Stetigkeits- und Normierungsbedingung für die Koeffizienten

$$\begin{split}B_1 &= \exp(\kappa_1 b) \sin(k_2 b) B_2, \\ B_2 ... ...a_1} - \frac{\sin(2 k_2 b)}{2 k_2} \right ]^{-1/2}. \end{split}$$ (72)