Aufgabe 7
Das zeitliche Verhalten der Komponenten der Populationsvektoren (Gruppe A: $x(t):=x^A_1(t)$ und Gruppe B: $y(t):=x^B_1(t)$) wird in der Reproduktionsdynamik mittels des folgenden Systems von Differentialgleichungen beschrieben:
\[
\begin{eqnarray}
\frac{d x(t)}{dt} &=& \left[
\left( \$^A_{11} + \$^A_{22} - \$^A_{12} - \$^A_{21} \right) \,y(t) + \left( \$^A_{12} - \$^A_{22}\right) \right] \,\left( x(t) - \left( x(t) \right)^2 \right) \, =: \, g_A(x,y) \qquad \\
\frac{d y(t)}{dt} &=& \left[ \left( \$^B_{11} + \$^B_{22} - \$^B_{12} - \$^B_{21} \right) \,x(t) + \left( \$^B_{12} - \$^B_{22}\right) \right] \,\left( y(t) - \left( y(t) \right)^2 \right) \, =: \, g_B(x,y)
\end{eqnarray}
\]
Das durch die folgende Auszahlungstabelle definierte Bimatrix Spiel gehört der Klasse der Sattelpunktsspiele an.
Der Populationsvektor zur Zeit t=0 sei (x(0) = 0.6 , y(0) = ). Der Anteil der Spieler in der Gruppe B die die Strategie $s^B_1$ spielen nimmt zunächst zu, erreicht dann ein Maximum und nimmt dannach wieder ab (siehe nebenstehende Abbildung). Berechnen Sie den Zeitpunkt $t^*$ an dem der maximale Wert $y^*$ erreicht wird. Tragen Sie bitte die beiden Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$t^*$ = , $y^*$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
| A/B | $s_1$ | $s_2$ |
|---|---|---|
| $s_1$ | ( 10 , 10 ) |
( 4 , 7 ) |
| $s_2$ | ( 9 , 4 ) |
( 5 , 5 ) |
Der Populationsvektor zur Zeit t=0 sei (x(0) = 0.6 , y(0) = ). Der Anteil der Spieler in der Gruppe B die die Strategie $s^B_1$ spielen nimmt zunächst zu, erreicht dann ein Maximum und nimmt dannach wieder ab (siehe nebenstehende Abbildung). Berechnen Sie den Zeitpunkt $t^*$ an dem der maximale Wert $y^*$ erreicht wird. Tragen Sie bitte die beiden Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$t^*$ = , $y^*$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
Qualitative Veranschaulichung der Aufgabenstellung
und er wird zum Zeitpunkt $t^* = $ erreicht.
Lösung
Der maximale Wert y-Wert beträgt $y^* = $und er wird zum Zeitpunkt $t^* = $ erreicht.