Aufgabe 15.1.
Erzeugen Sie mittels des Graphengenerators 'barabasi_albert_graph(...)' von NetworkX ein skalenfreies Netzwerk mit $N = 100$ Knoten ('barabasi_albert_graph(100,1)') und $N = 1000$ Knoten ('barabasi_albert_graph(1000,1)').
a)
Stellen Sie das skalenfreie Netzwerk mittels NetworkX für $N = 100$ (mit Kennzeichnung der Knotennummern) und $N = 1000$ (ohne Kennzeichnung der Knotennummern) im 'shell_layout', 'fruchterman_reingold_layout' und 'kamada_kawai_layout' dar.
b)
Erstellen Sie, für die beiden in Aufgabe 15.1. erzeugten Netzwerke, ein Diagramm (Scatter-Plot: plt.scatter(...)), welches den Knotengrad $k$ in Abhängigkeit von der Knotennummer darstellt. Welche Eigenschaft von skalenfreien Netzwerken kann man mittels dieser Abbildung deutlich erkennen?
Aufgabe 15.2.
Erstellen Sie ein skalenfreies Netzwerk mit $N = 300000$ Knoten ('barabasi_albert_graph(300000,1)'). Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion der Knotengrade für skalenfreie Netzwerke dem folgenden analytischen Zusammenhang folgt: $P(k) \sim k^{- \gamma} \quad, \,\, \gamma \in [2,3]$ Stellen Sie dazu $\hbox{ln} \!\left( P(k) \right)$ in Abhängigkeit von $\hbox{ln} \!\left( k \right)$ in einem Scatter-Plot dar und überprüfen Sie den analytischen Zusammenhang mittels einer linearen Regression (z.B. mittels der Funktion polyfit(...) des 'NumPy' Moduls). Welchen Wert von $\gamma$ erhalten Sie?