Physik der sozio-ökonomischen Systeme mit dem Computer

(Physics of Socio-Economic Systems with the Computer)

Vorlesung gehalten an der J.W.Goethe-Universität in Frankfurt am Main

(Sommersemester 2024)

von Dr.phil.nat. Dr.rer.pol. Matthias Hanauske

Frankfurt am Main 21.06.2024

Aufgabe 15

Aufgabe 15.1.

Erzeugen Sie mittels des Graphengenerators 'barabasi_albert_graph(...)' von NetworkX ein skalenfreies Netzwerk mit $N = 100$ Knoten ('barabasi_albert_graph(100,1)') und $N = 1000$ Knoten ('barabasi_albert_graph(1000,1)').

a)

Stellen Sie das skalenfreie Netzwerk mittels NetworkX für $N = 100$ (mit Kennzeichnung der Knotennummern) und $N = 1000$ (ohne Kennzeichnung der Knotennummern) im 'shell_layout', 'fruchterman_reingold_layout' und 'kamada_kawai_layout' dar.

b)

Erstellen Sie, für die beiden in Aufgabe 15.1. erzeugten Netzwerke, ein Diagramm (Scatter-Plot: plt.scatter(...)), welches den Knotengrad $k$ in Abhängigkeit von der Knotennummer darstellt. Welche Eigenschaft von skalenfreien Netzwerken kann man mittels dieser Abbildung deutlich erkennen?

Aufgabe 15.2.

Erstellen Sie ein skalenfreies Netzwerk mit $N = 300000$ Knoten ('barabasi_albert_graph(300000,1)'). Zeigen Sie, dass die Verteilungsfunktion der Knotengrade für skalenfreie Netzwerke dem folgenden analytischen Zusammenhang folgt: $P(k) \sim k^{- \gamma} \quad, \,\, \gamma \in [2,3]$ Stellen Sie dazu $\hbox{ln} \!\left( P(k) \right)$ in Abhängigkeit von $\hbox{ln} \!\left( k \right)$ in einem Scatter-Plot dar und überprüfen Sie den analytischen Zusammenhang mittels einer linearen Regression (z.B. mittels der Funktion polyfit(...) des 'NumPy' Moduls). Welchen Wert von $\gamma$ erhalten Sie?

Musterlösung Aufgabe 15

Musterlösung Aufgabe 15.1.a) (N=100)

import networkx as nx
from random import randint
import numpy as np

N = 100
G = nx.barabasi_albert_graph(N,1)
print("Anzahl der Knoten: " + str(len(G.nodes)))
print("Anzahl der Kanten: " + str(len(G.edges)))

Anzahl der Knoten: 100
Anzahl der Kanten: 99

import matplotlib.pyplot as plt 
import matplotlib

params = {
    'figure.figsize'    : [12,8],
    'axes.titlesize' : 14,
    'axes.labelsize' : 16,  
    'xtick.labelsize' : 14 ,
    'ytick.labelsize' : 14 
}
matplotlib.rcParams.update(params) 

pos = nx.shell_layout(G)

#Erzeugung des Netzwerk-Bildes  
node_size = 150
node_alpha = 0.3
node_color = "red"
edge_tickness = 0.4
edge_alpha = 0.7
edge_color = "blue"
node_text_size = 9
text_font = "sans-serif"
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color)
nx.draw_networkx_labels(G,pos,font_size=node_text_size,font_family=text_font);

pos = nx.fruchterman_reingold_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color)
nx.draw_networkx_labels(G,pos,font_size=node_text_size,font_family=text_font);

pos = nx.kamada_kawai_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color)
nx.draw_networkx_labels(G,pos,font_size=node_text_size,font_family=text_font);

Musterlösung Aufgabe 14.1.b) (N=100)

degree_sequence = np.array(G.degree)[:,1]
plt.ylabel('Knotengrad k')
plt.xlabel('Knotennummer')
plt.scatter(range(len(G.nodes)),degree_sequence,color="blue");

Die obere Abbildung zeigt, dass in skalenfreien Netzwerken die am Anfang erzeugten Knoten (kleine Knotennummer) im Mittel einen höheren Knotengrad besitzen.

Musterlösung Aufgabe 15.1.a) (N=1000)

N = 1000
G = nx.barabasi_albert_graph(N,1)
print("Anzahl der Knoten: " + str(len(G.nodes)))
print("Anzahl der Kanten: " + str(len(G.edges)))

Anzahl der Knoten: 1000
Anzahl der Kanten: 999

node_size = 12
pos = nx.shell_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color);

pos = nx.fruchterman_reingold_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color);

pos = nx.kamada_kawai_layout(G)
nx.draw_networkx_nodes(G,pos,node_size=node_size,alpha=node_alpha, node_color=node_color)
nx.draw_networkx_edges(G,pos,width=edge_tickness, alpha=edge_alpha,edge_color=edge_color);

Musterlösung Aufgabe 15.1.b) (N=1000)

degree_sequence = np.array(G.degree)[:,1]
plt.ylabel('Knotengrad k')
plt.xlabel('Knotennummer')
plt.scatter(range(len(G.nodes)),degree_sequence,color="blue",s=1);

Die obere Abbildung zeigt, dass in skalenfreien Netzwerken die am Anfang erzeugten Knoten (kleine Knotennummer) im Mittel einen höheren Knotengrad besitzen.

Musterlösung Aufgabe 15.2.

N = 300000
G = nx.barabasi_albert_graph(N,1)
print("Anzahl der Knoten: " + str(len(G.nodes)))
print("Anzahl der Kanten: " + str(len(G.edges)))

Anzahl der Knoten: 300000
Anzahl der Kanten: 299999

degree_sequence = np.array(G.degree)[:,1]
max_k = np.max(degree_sequence)

plt.xlabel('Knotengrad k')
plt.ylabel(r'$\rm P(k)$')
plt.hist(degree_sequence,bins=range(1,int(max_k+2),1),density="True");
plt.xscale('log')
plt.yscale('log')

x_hist_log = []
y_hist_log = []
y_0 = []
for i in range(1,max_k+1):
    y = np.count_nonzero(degree_sequence == i)
    if y != 0:
        x_hist_log.append(np.log(i))
        y_hist_log.append(np.log(y/len(G.nodes)))
    else:
        y_0.append(i)
Lin_fit = np.polyfit(x_hist_log[0:y_0[0]],y_hist_log[0:y_0[0]],1)

plt.ylabel(r'$\rm ln(P(k))$')
plt.xlabel(r"$\rm ln(k)$")
plt.ylim((np.min(y_hist_log)-1, 0.1))
plt.plot(x_hist_log,Lin_fit[0]*np.array(x_hist_log) + Lin_fit[1],color="red")
plt.scatter(x_hist_log,y_hist_log,color="blue");

print("Steigung (gamma-Wert): " + str(Lin_fit[0]))

Steigung (gamma-Wert): -2.885007521514056

Die Ergebnisse der linearen Regression stimmen gut mit der analytischen Verteilungsfunktion $P(k) \sim k^{- \gamma} \quad, \,\, \gamma \in [2,3]$ überein.

$\hbox{ln} \!\left( P(k) \right) \sim - \gamma \, \cdot \, \hbox{ln} \!\left( k \right)\quad \rightarrow $ Steigung = $-\gamma$ .