Aufgabe 10
Betrachten Sie die zeitliche Entwicklung eines evolutionären (2 Spieler)-(3 Strategien) Spiels mit symmetrischer Auszahlungsmatrix. Das zeitliche Verhalten der Komponenten des Populationsvektors $\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), x_{3}(t) )$ wird in der Reproduktionsdynamik mittels des folgenden Systems von Differentialgleichungen beschrieben:
\[
\begin{equation}
\frac{d x_1(t)}{dt} = \, g_1(x_1,x_2,x_3) \, , \,\, \frac{d x_2(t)}{dt} = \, g_2(x_1,x_2,x_3) \, , \,\, \frac{d x_3(t)}{dt} = \, g_3(x_1,x_2,x_3)
\end{equation}
\]
Die Präferenzordnungen der Spieler sei durch die untere Auszahlungstabelle quantifiziert.
Aufgrund der Normalisierungsbedingung des Populationsvektors kann man sich die zeitliche Entwicklung der Strategiewahl der Population in einem baryzentrischen Dreiecks-Koordinatensystem veranschaulichen, wobei der x-Achsen Wert durch $x:=x_2+x_3/2$ und der y-Achsen Wert durch $y:=x_3$ definiert ist. Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht eine solche Entwicklung im baryzentrischen Koordinatensystem. Der rote Punkt innerhalb des Dreiecks ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihm der Betrag des "Populationswindes" ($\left| \vec{v} \right| =\sqrt{{g_1}^2 + {g_2}^2 + {g_3}^2}$) gerade Null ist. Wählen Sie den freien Parameter d der Auszahlungstabelle so, dass der rote Punkt bei ( $x_{Rot} = $ , $y_{Rot} = \frac{1}{3}$ ) liegt. Nehmen Sie dann an, dass die Anfangs-Strategienwahl der Population (schwarzer Punkt in der nebenstehende Abbildung) bei ( $x(t=0) = 0.375$ , $y(t=0) = 0.67$ ) liegt und berechnen Sie die Position nach $t = 2$ Zeiteinheiten (schwarzes Dreieck in der nebenstehende Abbildung). Tragen Sie bitte die berechneten Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$d$ =
$x(t = 2)$ = $y(t = 2)$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
| A/B | $s^B_1$ | $s^B_2$ | $s^B_3$ |
|---|---|---|---|
| $s^A_1$ | ( 0 , 0 ) |
( 1 , -1 ) |
( -1 , -d ) |
| $s^A_2$ | ( -1 , 1 ) |
( 0 , 0 ) |
( 1 , 2) |
| $s^A_3$ | ( -d , -1 ) |
( 2 , 1 ) |
( 0 , 0) |
Aufgrund der Normalisierungsbedingung des Populationsvektors kann man sich die zeitliche Entwicklung der Strategiewahl der Population in einem baryzentrischen Dreiecks-Koordinatensystem veranschaulichen, wobei der x-Achsen Wert durch $x:=x_2+x_3/2$ und der y-Achsen Wert durch $y:=x_3$ definiert ist. Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht eine solche Entwicklung im baryzentrischen Koordinatensystem. Der rote Punkt innerhalb des Dreiecks ist dadurch gekennzeichnet, dass in ihm der Betrag des "Populationswindes" ($\left| \vec{v} \right| =\sqrt{{g_1}^2 + {g_2}^2 + {g_3}^2}$) gerade Null ist. Wählen Sie den freien Parameter d der Auszahlungstabelle so, dass der rote Punkt bei ( $x_{Rot} = $ , $y_{Rot} = \frac{1}{3}$ ) liegt. Nehmen Sie dann an, dass die Anfangs-Strategienwahl der Population (schwarzer Punkt in der nebenstehende Abbildung) bei ( $x(t=0) = 0.375$ , $y(t=0) = 0.67$ ) liegt und berechnen Sie die Position nach $t = 2$ Zeiteinheiten (schwarzes Dreieck in der nebenstehende Abbildung). Tragen Sie bitte die berechneten Werte in die unteren Eingabenfelder ein
$d$ =
$x(t = 2)$ = $y(t = 2)$ =
und vergleichen Sie indem Sie den folgenden Button drücken.
Qualitative Veranschaulichung der Aufgabenstellung
$d = $
und die Position des Populationsvektors nach $t = 2$ Zeiteinheiten ist
$x(t = 2)$ = , $y(t = 2)$ =
Lösung
Der Wert des Parameters d in der Auszahlungsmatrix beträgt$d = $
und die Position des Populationsvektors nach $t = 2$ Zeiteinheiten ist
$x(t = 2)$ = , $y(t = 2)$ =