Betrachten Sie die zeitliche Entwicklung eines evolutionären (2 Spieler)-(3 Strategien) Spiels mit symmetrischer Auszahlungsmatrix. Das zeitliche Verhalten der Komponenten des Populationsvektors $\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), x_{3}(t) )$ wird in der Reproduktionsdynamik mittels des folgenden Systems von Differentialgleichungen beschrieben:
\[
\begin{equation}
\frac{d x_1(t)}{dt} = \, g_1(x_1,x_2,x_3) \, , \,\, \frac{d x_2(t)}{dt} = \, g_2(x_1,x_2,x_3) \, , \,\, \frac{d x_3(t)}{dt} = \, g_3(x_1,x_2,x_3)
\end{equation}
\]
Die Präferenzordnungen der Spieler sei durch die neben stehende Auszahlungstabelle quantifiziert, wobei der Parameter d auf den folgenden Wert festgelegt sei d = .
Aufgrund der Normalisierungsbedingung des Populationsvektors kann man sich die zeitliche Entwicklung der Strategiewahl der Population in einem baryzentrischen Dreiecks-Koordinatensystem veranschaulichen, wobei der x-Achsen Wert durch $x:=x_2+x_3/2$ und der y-Achsen Wert durch $y:=x_3$ definiert ist. Bei welcher gemischten Strategienkombination $(\tilde{s}^{\star}_1,\tilde{s}^{\star}_2 , \tilde{s}^{\star}_3)$ befindet sich das gemischte Nash-Gleichgewicht und die evolutionär stabile Strategie des Spiels? Tragen Sie bitte Ihre Werte in die unteren Eingabenfelder ein und geben Sie zusätzlich noch die baryzentrischen Koordinaten $(x^{\star} , y^{\star})$ des gemischten Nash-Gleichgewichts an.
Überpüfen Sie ihre Berechnungen, indem Sie das evolutionäre Spiel simulieren. Wälen Sie dabei den Anfangswert der Strategienwahl der Population zu $( x_0 = 0.92 , y_0 = 0.04 )$ (baryzentrisches Dreiecks-Koordinatensystem). Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse, indem Sie den folgenden Button drücken.
A/B
$s^B_1$
$s^B_2$
$s^B_3$
$s^A_1$
( 0 , 0 )
( d , -1 )
( -1 , 2 )
$s^A_2$
( -1 , d )
( 0 , 0 )
( 2 , -1)
$s^A_3$
( 2 , -1 )
( -1 , 2 )
( 0 , 0)
Lösung
Das gemischte Nash-Gleichgewicht befindet sich bei
$\tilde{s}^{\star}_1$ = , $\tilde{s}^{\star}_2$ =
$\tilde{s}^{\star}_3$ =
$x^{\star}$ = , $y^{\star}$ =
Ihre Simulation des evolutionären Spiels sollte mit folgendem Bild übereinstimmen: