Das Projekt Räuber Beute Simulation hat Ihren Ursprung im Fachgebiet der Populationsökologie (bzw. Populations-/Evolutionsbiologie). In der Ökologie werden die Beziehungen/Interaktionen von Lebewesen (Organismen) untereinander und zu ihrer unbelebten Umwelt untersucht. Die zeitliche Entwicklung der einzelnen Populationsgrößen ist Gegenstand der Populations- und Evolutionsbiologie, welche ihren mathematischen Ansatz in der sogenannten Räuber-Beute Gleichung (Lotka-Volterra Gleichung) findet. Die Räuber-Beute Gleichung beschreibt den natürlichen Überlebenskampf mehrerer Spezies, die einander auffressen. Die Population der Räuberwesen ernährt sich von der Population der Beutewesen und sinkt die Anzahl der Beutewesen, so erniedrigt sich die Reproduktionsrate der Räuberwesen, da diese Hunger erleiden müssen. Das Projekt besteht aus zwei formell getrennten Simulationen: Eine Agenten-ähnliche Simulation auf individueller Lebewesen Formulierung und eine Simulation, die auf Basis einer analytischen Räuber-Beute Gleichung.
Die Räuber-Beute-Gleichung (Lotka-Volterra Gleichung) für $N$-Populationen besteht aus dem folgenden System von Differentialgleichungen \[ \begin{equation} \frac{d x_i(t)}{dt} = \left( r_i + \sum_{j=1}^{N} b_{ij}\, x_j(t) \right) x_i(t) \quad , \end{equation} \] wobei $x_i(t)$ die Anzahl der Lebewesen in der Population i zur Zeit $t$ beschreibt, $r_i$ die Werte der intrinsischen Reproduktions-Sterberaten der Population i sind (wie viele Lebewesen der Population i werden pro Zeiteinheit $dt$ gebohren minus die pro Zeiteinheit versterbenden Lebewesen der Population i) und $b_{ij}$ die Interaktionsmatrix der Population i zur Population j darstellt (Erhöhung der Reproduktionsrate der Räuber pro Beutelebewesen bzw. Erniedriegung der Reproduktionsrate der Beutetiere pro Räuberlebewesen). Details finden Sie z.B. in den unten angegebenen Büchern von 1) Hofbauer und Sigmund und 2) Nowak. Das betrachtete Problem stellt ein System von $N$ gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung dar und kann mittels der in dieser Vorlesung erlernten numerischen Verfahren gelöst werden.
Der oben beschriebene deterministische Zugang zu dem betrachteten System setzt voraus, dass jedes Lebewesen der einen Population stets mit einem Lebewesen der anderen Population in Kontakt kommen kann und die Überlebenswahrscheinlichkeit des Beutewesens wird durch eine, über die gesamte Population gemittelten Wert (Eintrag in der $b_{ij}$-Interaktionsmatrix) beschrieben. Eine Agenten-ähnliche Simulation auf individueller Lebewesen Formulierung ist hingegen eine Art von stochastischer Simulation und jedes Lebewesen soll hierbei durch ein Objekt einer C++ Lebewesen-Klasse formuliert werden. Pro Iterationsschritt (Zeitschritt $\Delta t$) sollen die sich in einem C++ Container befindlichen einzelnen Lebewesen nun in Kontakt treten und der individuelle Überlebenskampf soll mittels einer Member-Funktion definiert werden.
Entwerfen Sie ein C++ Programm, das die deterministische Räuber-Beute-Gleichung für den Fall $N=2$ löst. Das System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung soll hierbei mittels des Runge-Kutta Ordnung vier Verfahrens gelöst und mit einem Python Skript bzw. Jupyter Notebook visualisiert werden. Benutzen Sie hierbei die intrinsischen Reproduktions-Sterberaten $r_1=0.9$ und $r_2=-0.8$ und die folgenden Werte der Interaktionsmatrix $b_{ij}$ ($b_{11}=-0.01$, $b_{12}=-0.02$, $b_{21}=0.25$ und $b_{22}=-0.05$) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit dem Maple Worksheet: Die Populationsökologie (bzw. Populations-/Evolutionsbiologie) als Anwendungsfeld der evolutionären Spieltheorie.
Betrachten Sie den Fall $N=2$ mit $r_1=0.8$, $r_2=-0.5$ und $b_{11}=-0.01$, $b_{12}=-0.09$, $b_{21}=0.4$ und $b_{22}=-0.01$) und vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit dem Maple Worksheet: Die Populationsökologie (bzw. Populations-/Evolutionsbiologie) als Anwendungsfeld der evolutionären Spieltheorie.
Betrachten Sie den Fall $N=2$ und entwerfen ein C++ Programm, dass eine Agenten-ähnliche Simulation auf individueller Lebewesen Formulierung beinhaltet. Das folgende Java-Programm kann Ihnen als Vorlage dienen: Niklas Götz, Individuenbasierte Räuber-Beute-Simulation. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit den numerischen Ergebnissen der deterministischen Simulationen.
Betrachten Sie den Fall $N=3$.