Unschärferelation

Eine andere, oft falsch verstandene Erklärung betrifft die Unschärferelation. Diese besagt beispielsweise, daß es unmöglich ist, Ort x und Impuls p eines Teilchens gleichzeitig beliebig genau zu bestimmen. Für die Unsicherheit in Ort ($\Delta x$) und Impuls ($\Delta p$) gilt immer:

$$\Delta p \Delta x \ge \frac{\hbar}{2}$$ (1)

Das bedeutet, je genauer man beispielsweise den Ort mißt (je kleiner also $\Delta x$ wird), umso ungenauer wird die Information über den Impuls (umso größer wird $\Delta p$).

Zur Erklärung dieser Eigenheit wird oftmals angeführt, daß man zur Ortsmessung ja Licht, also Photonen auf das Teilchen schießen muß. Diese übertragen dem Teilchen aber auch einen (unbekannten) Impuls, so daß man über diesen schließlich nichts mehr aussagen kann. Ist die Unschärferelation also nur ein Ergebnis unserer meßtechnischen Unfähigkeit?

Daß dem nicht so ist, kann man eindrucksvoll dadurch zeigen, daß man die Unschärferelation mathematisch herleitet. Wie im Abschnitt über den Welle-Teilchen-Dualismus berichtet, genügt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine erfolgreiche Ortsmessung der Lösung einer Wellengleichung. Eine analoge Beziehung besteht auch für den Impuls. Dies bedeutet, daß auch der Impuls eines Teilchens vollkommen unbestimmt ist, solange man nicht nachmißt. Und wenn man dies tut, mißt man auch nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit einen gewissen Impuls. Die Wahrscheinlichkeit für die Impulsverteilung ist nun ebenfalls die Lösung einer Wellengleichung. Vergleiche mit der Optik zeigen nun, daß die Ortswellenfunktion und die Impulswellenfunktion sogenannte ,,Fourier-Transformierte`` voneinander sind. Eine Fouriertransformation ist eine mathematische Operation, die grob gesagt eine bestimmte Funktion durch eine andere ausdrückt. Das besondere an einer Fouriertransformation ist nun, daß bestimmte Änderungen in der ursprünglichen Funktion im Resultat oftmals genau das Gegenteil bewirken. Betrachtet man als Ortswellenfunktion beispielsweise eine Funktion, die überall fast Null ist, und nur in einem sehr schmalen Intervall deutliche Werte annimmt, so ist deren Fourier-Transformierte eine sehr breite Funktion. Andererseits ergibt eine breite Eingangsfunktion eine Fouriertransformierte, die nur einen sehr schmalen ,,Peak`` aufweist.

Nun kann man die Ortswellenfunktion und ihre Fourier-Tranformierte nehmen, und untersuchen, wann beide Funktionen die gleiche Breite aufweisen. (Achtung! Auch dies ist wiederum sehr grob formuliert. Die mathematische Herleitung ist weitaus komplizierter, und würde den Rahmen dieses Textes für Laien eindeutig sprengen). Dabei stellt man fest, daß es unmöglich ist, eine sehr schmale Ursprungsfunktion zu finden, deren Fouriertransformierte ebenfalls nur einen sehr schmalen Peak besitzt. Es gibt eine Mindestbreite, die beide Funktionen einhalten müssen. Da die Breite der Funktion aber die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Ort oder Impuls festlegt, bedeutet dies nun, daß für die Unsicherheit bei Messung von Ort und Impuls eben genau die oben angegebene Beziehung besteht. Man kommt also ,,von alleine`` auf die Unschärferelation, ohne auch nur eine einzige Messung durchzuführen, ja sogar, ohne auch nur den Einfluß der Messung auf das Resultat in die mathematische Rechnung einfließen zu lassen.

Die Unschärferelation ist also prinzipieller Natur. Sie folgt direkt aus der Struktur der für die erfolgreiche Beschreibung von Quantenphänomenen notwendigen Mathematik. Sie gilt insbesondere auch dann, wenn man keine Messung vornimmt - sie gründet also nicht auf den technischen Einschränkungen unserer Meßapparaturen.