Das Projekt periodisch angetriebenes Pendel ist ein Anwendungsfall aus der klassischen Mechanik (siehe z.B. Walter Greiner, 'Klassische Mechanik II' [8. Auflage, 2008, Kapitel VII27. Seite 496]). Das System besteht aus einem Pendel, auf welches zusätzlich eine äußere Kraft mit periodischer Zeitabhängigkeit wirkt. Außerdem soll das Pendel durch eine geschwindigkeitsabhängige Luftreibung gedämpft sein. Die zugrundeliegende Differentialgleichung besitzt die folgende Form \[ \begin{equation} \frac{d^2 \phi(t)}{dt^2} + \frac{\beta}{m} \frac{d \phi(t)}{dt} + \frac{g}{l} \cdot \hbox{sin}\left( \phi(t) \right) = f_0 \cdot \hbox{cos}\left( \Omega \cdot t \right) \quad , \end{equation} \] wobei $m$ und $l$ die Masse und Länge des Pendels, $\beta$ der Stokessche Reibungskoeffizient und $f_0$ und $\Omega$ die Amplitude und Frequenz der äußeren Kraft ist. Die zugrundeliegende Bewegungsgleichung des periodisch angetriebenen Pendels ist stark nichtlinear und die, nur auf numerischem Weg zu berechnenden Lösungen, zeigen deterministisch chaotische Bewegungen.
Schreiben Sie die Bewegungsgleichung zweiter Ordnung in ein System von zwei miteinander gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung um.
Lösen Sie das System von Differentialgleichungen erster Ordnung mittels eines C++ Programms und benutzen Sie das Runge-Kutta Ordnung vier Verfahren.
Betrachten Sie unterschiedliche Anfangsbedingungen und Parameterwerte ($m$, $l$, $\beta$, $f_0$ und $\Omega$) und visualisieren Sie ihre Ergebnisse mittels eines Python Skriptes bzw. Jupyter Notebooks.
Die zugrundeliegende Bewegungsgleichung des periodisch angetriebenen Pendels ist stark nichtlinear, sodass kleine Abänderungen in den Anfangswerten, nach einiger Zeit qualitativ unterschiedliche Bewegungen zur Folge haben. Fertigen Sie zwei Simulationen an, die sich in ihren Anfangswerten (z.B. der Anfangsauslenkung des Pendels $\phi(0)$) nur um einen Epsilonbetrag $\Delta \epsilon$ unterscheiden und betrachten Sie, ab wann die Pendel-Trajektorien sich qualitativ unterscheiden.
Stellen Sie die Phasenraumtrajektorien ($\phi(t)$ - $\frac{d \phi(t)}{dt}$ Diagramm) einiger Simulationen dar und vergleichen Sie diese mit den Abbildungen auf Seite 497 in Walter Greiner, 'Klassische Mechanik II' [8. Auflage, 2008, Kapitel VII27. Seite 496].
Vernachlässigen Sie die periodisch äußere Kraft $f_0=0$ und simulieren Sie die Fälle: schwache Dämpfung, aperiodischer Grenzfall und überdämpftes System.
Vergleichen Sie Ihre Simulation mit der linearen Näherung des periodisch angetriebene Pendel (siehe z.B. Walter Greiner, 'Mechanik Teil 1' [5. Auflage, 1989, Kapitel 23. Seite 236])) und untersuchen Sie die Resonanzkatastrophe indem Sie Amplitude der erzwungenen gedämpften Schwingung als Funktion der Erregerfrequenz $\Omega$ darstellen.
Schreiben Sie Ihr Programm so um, dass das periodisch angetriebene Pendel eine Klasse (mit eigenen Daten-Member, Member Funktionen und Konstruktoren) repräsentiert.