Im Intervall $x \in [0.25,2.5]$ hat die Funktion $g(x)=x^3$ mit der Funktion $h(x)=$ln$(x)+5$ einen Schnittpunkt. Berechnen Sie diesen Schnittpunkt auf numerischem Wege mittels der Methode der Bisektion und stellen sie die ersten 11 Schritte des Intervallhalbierungsverfahrens grafisch mittels eines Python Skriptes dar. Bemerkung: Der Literaturwert des x-Wertes des Schnittpunktes beträgt $x = 1.7729093296693715...$
Die Bernoulli Abbildung lautet: Nehmen Sie irgendeine Zahl zwischen 0 und 1 als Startwert und multiplizieren Sie diese mit 2. Wenn die berechnete Zahl größer oder gleich 1 ist, dann ziehen Sie eins ab. Machen Sie diese Vorgehensweise immer wieder erneut.
Mathematisch formulieren kann man diesen Algorithmus als eine stückweise definierte Folge:
\[
\begin{equation}
x_{t+1} = \left\{
\begin{array}[c]{cl}
2 x_t \quad &\forall \,\, 0 \leq x_t < \frac{1}{2}\\
2 x_t - 1 \quad &\forall \,\, \frac{1}{2} \leq x_t < 1
\end{array}
\right. \qquad \quad \forall \,\, t \in ℕ \,\, \hbox{und} \,\, x_0 \in [0,1)
\end{equation}
\]
Schreiben Sie unter Verwendung einer (if-else)-Anweisung ein C++ Programm, dass die ersten 70 Folgenglieder der Bernoulli Abbildung ausgibt und visualisieren Sie die zeitliche Entwicklung der Folgenglieder mittels eines Python-Skripts. Deklarieren Sie dabei die Folgenglieder $x_t$ zunächst als einen double-Datentyp und dann als einen float-Datentyp und initialisieren Sie die Folge mit den folgenden Startwerten $x_0 \in \{
\frac{1}{3}, \frac{1}{7}, \frac{1}{11}, \frac{1}{2^{20}} \}$.
Sind Sie mit den Ergebnissen Ihres Programms zufrieden? Falls nicht, wo liegt das Problem und wie kann man das Programm abändern, sodass die zeitliche Entwicklung für einen Startwert $x_0 \in ℚ$ richtig ist?
Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke mittels eines C++ Programms und lassen Sie sich die berechneten Werte (falls diese Gleitkommazahlen sind) auf 15 Stellen genau ausgeben. \[ \begin{equation} \prod_{k=1}^{11} k^2 \quad,\quad \sum_{k=0}^{20} \sum_{i=0\\i \neq k}^{10} \frac{k + i^3}{\left( k - i \right)^2} \quad,\quad \hbox{Bestimmen Sie N}\quad:\quad \sum_{k=0}^{N} \sum_{i=0\\i \neq k}^{250} \left( k + i^2 \right) = 672013120 \end{equation} \]
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 4 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 4