Im Unterpunkt Systeme von gekoppelten Differentialgleichungen und Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Vorlesung 9 behandelten wir unter anderem das numerische Lösen von Systemen von gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung mittels der C++ und Python Programmiersprachen. In dem C++ Programm DGL_2.cpp und dem Jupyter Notebook DGL_2.ipynb hatten wir exemplarisch die Lösungen eines Systems bestehend aus zwei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung bestimmt. Erweitern Sie das C++ Programm oder das Jupyter Notebook auf ein System bestehend aus drei gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung und lösen Sie das folgende Differentialgleichung-System des Lorenz-Modells mittels C++ oder Python. \begin{eqnarray} \dot{x}(t) &=& \frac{d x}{dt} = \, \sigma \cdot \left( y - x \right) \\ \dot{y}(t) &=& \frac{d y}{dt} = \, r \cdot x - y - x \cdot z \\ \dot{z}(t) &=& \frac{d z}{dt} = \, x \cdot y - b \cdot z \end{eqnarray} Das Lorenz-System wurde im Jahre 1962 von dem Meteorologen Edward N. Lorenz als eine Idealisierung der hydrodynamischen Gleichungen der Erdatmosphäre entwickelt und stellt eines der am meisten untersuchten kontinuierlichen Modelle mit chaotischem Verhalten dar. Den Parameter $\sigma$ bezeichnet man als 'Prandtl-Zahl', $r$ als 'relative Rayleigh-Zahl' und $b$ ist eine Konstante mit $b \in (0,4)$.
Betrachten Sie speziell das Lorenz-Modell mit $\sigma = 10$ und $b = \frac{8}{3}$ und berechnen Sie zumindest für einen der folgenden $r$-Werte die numerische Lösung: $r = 0.9, 12, 22, 28$. Betrachten Sie dabei sowohl die zeitliche Entwicklung ausgehend von dem Startwert $x(0) = 0 \, , \,\, y(0) = 1$ und $z(0) = 0$ als auch zumindest einen weiteren Anfangswert. Visualisieren Sie Ihre Ergebnisse, indem sie die zeitliche Entwicklung der Funktionen $x(t) \, , \,\, y(t) \, , \,\, z(t)$ darstellen. Erstellen Sie zusätzlich ein Bild der Trajektorie der Bewegung der Lösungsfunktionen $x(t), y(t)$ und $z(t)$ in einem dreidimensionalen $x,y,z$-Koordinatensystem. Verwenden Sie dazu z.B. das folgende Jupyter Notebook als Vorlage: Vorlage_Raumkurve.ipynb (View Notebook, Download Notebook).
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 10 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 10