Im Folgenden soll ein Teil einer Kurvendiskussion mittels eines eigenen Jupyter Notebooks in Verbindung mit einem C++ Programm angefertigt werden. Gegeben sei die Funktion $f(x)$ $$ \begin{equation} f(x) = e^{-x^2/4} \cdot \hbox{sin}(x/10) \cdot \left( x^4 -q\,x^2 - 5 \right) \quad . \end{equation} $$
Nullstellensuche mit Jupyter und SympyBetrachten Sie die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich ($x \in$ ℝ) und berechnen Sie für beliebige Parameter $q \in$ ℝ die Nullstellen der Funktion $f(x)=0$. Wie lauten die Nullstellenwerte für $q=9$ ?
Darstellung von $f(x)$, $f^\prime(x)$ und $f^{\prime\prime}(x)$ mittels JupyterStellen Sie nun die Funktion $f(x)$ und die erste und zweite Ableitung der Funktion im Teilintervall $x \in [-7,7]$ grafisch in drei x-y-Diagrammen dar (benutzen Sie dafür wieder den festen Parameterwert $q=9$). Versuchen Sie die Maxima der Funktion (mit $q=9$) mittels Sympy zu bestimmen.
C++ Programm zur Bestimmung der Hochpunkte der FunktionBerechnen Sie die x-Werte der beiden Hochpunkte der Funktion $f(x)$ mittels der Methode der Bisektion (Intervallhalbierungsverfahren) unter Verwendung eines C++ Programms.
Diese Aufgabe ist angelehnt an das Kapitel 23 "Der gedämpfte harmonische Oszillator" des Buches von Prof. Walter Greiner, Mechanik (Teil 1) [5. Auflage, 1989, siehe Seite 226- 237]. Siehe auch Vorlesungsskript von Prof. Rischke auf Seite 117- 126 http://www.th.physik.uni-frankfurt.de/~drischke/Skript_MI_WiSe2016-2017.pdf ). Wir betrachten im Folgenden den gedämpften harmonischen Oszillator am Beispiel eines reibungsfrei gelagerten Wagens (Masse=$M$) auf den eine Rückstellkraft einwirkt (die proportional zu seiner Auslenkung $x$ ist (Proportionalitätskonstante $k$)), wobei zusätzlich eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft auf den Wagen einwirkt (z.B. verursacht durch den auf den Wagen einwirkende Luftwiderstand, Stokesscher Ansatz: Proportionalitätskonstante $\alpha$). Aufgrund der Rückstellkraft, besitzt das zugrundeliegende Potential $V(x)$ die Form einer Parabel $V(x)=\frac{k \, x^2}{2}$. Die Differentialgleichung des linearen harmonischen Oszillators mit Dämpfung wird mittels der folgenden Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben (wir setzen $\omega_0^2=\frac{k}{M}$ und $\beta = \frac{\alpha}{2M}$): $$ \begin{equation} \ddot{x}(t) = - \omega_0^2 \, x(t) - 2 \beta \, \dot{x}(t) \end{equation} $$ Die Anfangsbedingungen seien zunächst noch allgemein gehalten: $x(0) = \alpha_1 \,\, , \,\, \dot{x}(0) = \alpha_2$. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mittels eines eigenen Jupyter Notebooks. Geben Sie dann die spezielle Lösung der Differentialgleichung bei festgelegten Parameterwerten ($\omega_0^2=3$ und $\beta = 0.25$) und Anfangsbedingungen ($\alpha_1 = 0$ und $\alpha_2 = 40$) an und visualisieren Sie diese in einem x-t Diagramm. An welchem Ort befindet sich der Wagen zur Zeit $t=10$ ( $x(10)$ )?
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 7 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 7