Bei der Herleitung der Schwarzschildmetrik verwendet man oft den folgenden Ansatz einer sphärisch symmetrischen Raumzeit-Metrik (siehe z.B. "Einführung in die Relativitätstheorie" von Ray D'Inverno): $$g_{\alpha\beta}=\left( \begin{array}{ccc} e^{\nu(t,r)} & 0 & 0 & 0\\ 0& - e^{\lambda(t,r)} & 0&0 \\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktionen $\nu(t,r)$ und $\lambda(t,r)$ an dieser Stelle noch unbekannt sind und erst später eine physikalische Bedeutung erhalten. Die griechischen, raumzeitlichen Indices $ \alpha, \beta$ laufen von 0..3 und entsprechen den folgenden sphärischen Koordinaten: $ x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t,r,\theta, \phi \right)$. Berechnen Sie in einem Jupyter Notebook, unter Verwendung des Python-Moduls OGRePy, für den oben angegebenen Ansatz der Metrik die nichtverschwindenden Komponenten der Christoffel Symbole $\Gamma^{\sigma}_{\mu \nu}$ und des Einstein-Tensors $G_{\mu\nu}$. Berechnen und vereinfachen Sie außerdem die folgenden Gleichungen: $G_{t}{}\!\,^{t} - G_{r}{}\!\,^{r}= 0$ und $G_{t}{}\!\,^{r} = 0$
In der Kosmologie ist die Robertson-Walker-Metrik von zentraler Bedeutung. Sie besitzt das folgende Aussehen: $$ g_{\alpha\beta}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& - \frac{R(t)^2}{1-k\, r^2} & 0&0 \\ 0& 0& -R(t)^2 r^2& 0\\ 0& 0& 0& -R(t)^2 r^2 \hbox{sin}^2(\theta)\\ \end{array} \right) \quad , $$ wobei die Funktion $R(t)$ als der Skalenfaktor des Universums zur Zeit $t$ bezeichnet wird und der Parameter $k$ den Krümmungsparameter des Universums kennzeichnet. Die griechischen, raumzeitlichen Indices $ \alpha, \beta$ laufen auch hier von 0..3 und entsprechen wieder den folgenden sphärischen Koordinaten: $ x^\mu = \left( x^0, x^1, x^2, x^3 \right) = \left( t,r,\theta, \phi \right)$. Berechnen Sie in einem Jupyter Notebook, unter Verwendung des Python-Moduls OGRePy, das Linienelement $ds^2$ und den Ricci-Tensors $R_{\mu\nu}$ für die Robertson-Walker-Metrik und berechnen Sie außerdem den folgenden zusammengesetzten Tensor: $ Q^{\mu}{}_{\nu} = R^{\alpha \beta \gamma \mu} R_{\alpha \beta \gamma \nu} - \frac{1}{4} R^{\alpha \beta \gamma \lambda} R_{\alpha \beta \gamma \lambda} \,g^{\mu}{}_{\nu} $
Die Musterlösung der Aufgaben des Übungsblattes Nr. 2 finden Sie unter dem folgenden Link:
Musterlösung Übungsblatt Nr. 2 ('Blatt_2L.ipynb' , View Notebook, Download Notebook)