Periodenverdopplung und Intermittenz

Sukzessive Gabelungsbifurkationen sind ein Weg für den Übergang periodischer zu chaotischen Lösungen. Dies wurde erstmals von Feigenbaum am Beispiel der logistischen Abbildung gezeigt.

Feigenbaum Diagramm: Periodenverdopplung der logistischen Abbildung für kritische Werte r(k) des Kontrollparameters r.

Dabei ergeben sich einige universelle Ergebnisse:

• Die Folge der Differenzen zweier benachbarter Bifurkationswerte r(k) besitzt einen Häufungspunkt. Es gilt
  
  
  
• Die Bifurkationswerte streben in einer geometrischen Folge
  
  
  gegen den Wert , an dem Chaos einsetzt. Mit wachsendem Kontrollparameter r folgen die Periodenverdopplungen in immer kürzeren Intervallen bis die Lösung schließlich chaotisch wird.
• Der Übergang von periodischen zu chaotischen Lösungen durch Periodenverdopplung gilt für alle eindimensionalen diskreten Abbildung mit quadratischem Maximum.

Ein zweiter Pfad zum Chaos kündigt sich durch Intermittenzen an.

Intermittenz Pfad zum Chaos: Lösung z(t) des Lorenz Modells für r=166.4

Im Intermittenzbereich wechselt das Signal unregelmäßig zwischen langen regulären Phasen und kurzen irregulären Störungen. Das Bild zeigt die Lösung z(t) des Lorenz Modells für r=166.4, knapp oberhalb des kritischen Wertes r=166, für den die Lösung noch regulär periodisch ist.