Lyapunov Exponent

Am Beispiel des getriebenen Pendels hat man gesehen, wie zwei chaotische Lösungen zu benachbarten Anfangsbedingungen exponentiell auseinander streben.

Differenz zweier Lösungen des getriebenen Pendels für F=0, 0.5, 1.2 (Kopplungsstärke der äußeren Kraft)

Daraus folgt als eine wesentliche Eigenschaft chaotischer Lösungen eine extreme Abhängigkeit von der Anfangsbedingung. Das exponentielle Auseinanderdriften zweier ursprünglich eng benachbarter Lösungen gilt nur lokal (für eine bestimmte Zeit), da beide Lösungen beschränkt sind, im Phasenraum also nicht beliebig weit separiert sein können. Sei x(n+1)=f(x(n)) eine Differenzengleichung mit dem Fixpunkt x=f(x). Dann gilt in einer Umgebung um den Fixpunkt in n. Iteration


und somit in der folgenden Iteration (Taylor Entwicklung unter Ausnutzung der Fixpunkteigenschaften)


In linearer Näherung - und das ist der Grund, weshalb die folgenden Aussagen nur lokal gelten - erhält man daraus eine Differenzengleichung für die Umgebung


mit der Lösung

und der formalen Definition des Lyapunov Exponenten


Ist der Lyapunov Exponent positiv, so sieht man, dass sich anfänglich infinitesimal benachbarte Lösungen lokal exponentiell abstoßen. Aus anderer Sicht gilt diese Aussage auch für die Fehlerfortpflanzung einer ungenau bestimmten Anfangsbedingung (z.B. endliche Rechengenauigkeit eines Computers, Messfehler einer experimentellen Anordnung): in jeder Iteration wächst der Fehler exponentiell an, so dass ein Ergebnis nach mehreren Iterationen vollständig unvorhersehbar wird, obwohl das System determiniert ist.