Das Lorenz Modell

Wir haben mit Hilfe des Maple Programmes eine numerische Analyse des Lorenz Modells


durchgeführt und dabei folgende Eigenschaften für die klassische Parameterkombination s=10, b=8/3 gefunden:

Stabilität im Lorenz Modell
		: stabiler Knoten
Gabelungsbifurkation		: instabiler Knoten : stabiler Fokus
Hopf Bifurkation		keine klassischen Attraktoren: Chaos

Diese Eigenschaften sind konsistent mit der Aussage, dass das Lorenz System dissipativ ist, d.h. mit


und der Bedingung


wird das erreichbare Phasenraumvolumen kontrahiert


Für r < 470/19 ist die Eigenschaft eines kontrahierenden Phasenraumvolumens unmittelbar einsichtig, denn jede Lösung der Lorenz Gleichung konvergiert für beliebige Anfangsbedingungen gegen eine der klassischen Attraktorlösungen.
Wie ist aber ein kontrahierendes Phasenraumvolumen für r > 470/19 zu verstehen, wenn keine klassischen Attraktoren mehr existieren? Das Phasenraumvolumen


verschwindet auch, wenn nur eine Komponente null wird, d.h. wenn sich im Zeitverlauf die Dimension des erreichbaren Phasenraumes reduziert, ohne dass die Lösung beschränkt sein muss. D.h. die Bedingung ist nicht hinreichend für die Existenz einer beschränkten Lösung.
Um zu zeigen, dass jede Lösung des Lorenz Modells beschränkt ist, betrachtet man eine Phasenraumkugel mit dem Radius R um den Punkt (0,0,c) und sucht denjenigen Radius


für den alle Lösungen nach endlicher Zeit innerhalb der Kugel liegen. Dabei ist es wichtig zu wissen, ob der Radius des erreichbaren Phasenraums im Zeitverlauf wächst oder abnimmt. Man erhält den damit verbundenen radialen Phasenraumfluss durch Differentiation von R und Einsetzen der Lorenz Gleichungen


Jetzt erkennt man auch warum die Kugel nicht um (0,0,0) gelegt wurde: Wählt man c=r+s, heben sich alle Mischterme heraus und man erhält (beachte die quadratische Ergänzung)


Der radiale Phasenraumfluss verschwindet (dR/dt = 0), falls die Lösung (x(t),y(t),z(t)) das Ellipsoid


mit den Halbachsen


schneidet. Liegt die Lösung innerhalb des Ellipsoids (dR/dt > 0), dehnt sich der erreichbare Phasenraum radial aus, liegt sie außerhalb (dR/dt < 0) zieht sich die Phasenraumkugel zusammen. Da für die vorliegenden Parameterwerte $\beta$ die größte Halbachse ist, umschließt jede Kugel mit einem Radius


vollständig das Ellipsoid. D.h. es existiert eine Kugel mit endlichem Radius derart, dass jede Lösung außerhalb dieser Kugel in endlicher Zeit in das Kugelvolumen propagieren wird. Somit hat man gezeigt, dass alle Lösungen der Lorenz Gleichungen beschränkt sind.
Daraus ergeben sich sofort einige Folgerungen:

• Wenn alle Lösungen beschränkt sind, muss ein Attraktor existieren. Da es für r > 470/19 keine klassischen Attraktoren gibt, nennt man dieses neuartige Objekt einen seltsamen Attraktor.
• Da das Phasenraumvolumen verschwindet, muss der seltsame Attraktor eine Dimension kleiner 3 besitzen, kann aber nicht die Dimensionen 0, 1 oder 2 haben (in diesem Fall wäre es einer der klassischen Attraktoren Punkt, Grenzzyklus oder Torus). D.h. ein seltsamer Attraktor besitzt eine fraktale (nicht ganzzahlige) Dimension.

Lorenz Attraktor für r=28	Lorenz Plot von z(t) für r=28

Für den Lorenz Attraktor hat Lorenz (Physika D 13, 90 (1984)) selbst die Dimension d=2.06 mit Hilfe der Überdeckungsmethode berechnet.
Zur Analyse chaotischer Lösungen ist es nützlich, Poincare Schnitte der Phasenraumtrajektorien zu betrachten. Trägt man aufeinanderfolgende Extrema der z-Komponente der Lösung gegeneinander auf (Lorenz Plot), so scheint das Ergebnis eine eindimensionale Differenzengleichung der Form


zu sein. Gibt es eine analytische Begründung dafür, dass eine eindimensionale Poincare Abbildung tatsächlich existiert oder handelt es sich nur um eine zufällige Darstellung?

Man beachte, dass die Poincare Abbildung nicht äquivalent zur Lösung der Lorenz Gleichungen ist: man erhält in diesem Fall nur eine Aussage über die Extremwerte von z(t). Daraus lässt sich nicht die exakte Lösung rekonstruieren. Andererseits ist aber eine Differenzengleichung einfacher zu diskutieren. Z.B. kann man viele Eigenschaften ableiten, indem man den Lorenz Plot des Lorenz Modells durch die asymmetrische Zeltdachabbildung


die analytisch sehr gut bekannt ist, nähert.