Fraktale Dimension

Zur Bestimmung der Dimension eines Objektes zerlegt man es in Standardsegmente einer bestimmten Größe. So zerlegt man z.B. eine Linie der Länge L in Segmente der Länge .

Segmentierung einer Linie oder Fläche
		1			1
		3			9
		9			81

Die Anzahl der Segmente ergibt sich offenbar aus


Für ein Quadrat der Kantenlänge L, das in kleinere Quadrate der Kantenlänge segmentiert wird erhält man (siehe Tabelle)


Entsprechend ergibt sich für einen Kubus der Dimension d


Man kann also die Dimension eines Objektes aus der Anzahl seiner Segmente bestimmen und erhält im Granzfall kleiner Einheitslängen


Für den Fall eines Kurvenstücks der Länge L ergibt sich


für eine Fläche entsprechend


Was hat man aber unter einer fraktalen Dimension zu verstehen? Dazu betrachtet man eine spezielle Segmentierung einer Geraden, die man erhält, indem man das jeweilige Zwischenstück bei der Drittelung verwirft. Diese Form der Segmentierung definiert eine Cantor Menge. Die Dimension berechnet sich wie folgt


D.h. die Dimension dieser Cantor Menge ist kleiner als diejenige einer Kurve (1) und größer als ein Punkt (0): da sie nicht als ganze Zahl gegeben ist, nennt man sie fraktal.

Zur Bestimmung fraktaler Dimensionen
		1			1
		2			4
		4			16

Ein anderes Beispiel für ein Fraktal ist die Koch Kurve, in der das jeweilige Mittelstück in ein gleichseitiges Dreieck verwandelt wird. Für die Dimension ergibt sich


Man kann die Dimension eines fraktalen Objektes mit Hilfe der Überdeckungsmethode bestimmen. Dazu zerlegt man den Phasenraum in gleichmäßige Volumenelemente der linearen Ausdehnung und zählt die Elemente aus, die durch das Fraktal belegt werden. Trägt man gegen auf, so ergibt sich für genügend kleine Segmente eine Gerade, deren Steigung der gesuchten Dimension entspricht.