Diskrete Abbildungen - Differenzengleichungen

Diskrete Abbildungen in Form von Differenzengleichungen sind ein wichtiges mathematisches Hilfsmittel zur Beschreibung deterministischer dynamischer Systeme. Jede Differentialgleichung, die nicht in geschlossener Form analytisch gelöst werden kann (also fast jede) muss zur numerischen Lösung diskretisiert werden. Jede Differenzenapproximation führt somit auf eine diskrete Abbildung der Form


Dabei ist der exakte Zusammenhang zwischen und in der Regel unbekannt: man erhofft für kleine Zeitdifferenzen eine Konvergenz. Vor dem Hintergrund chaotischer Lösungen, die empfindlich auf kleine Abweichungen in der Anfangsbedingung (also zu jeder beliebigen Zeit) reagieren, ist der Zusammenhang zwischen und eher fraglich.
Neben dieser häufig unvermeidlichen Form der diskreten Abbildung, haben wir in verschiedenen Maple Projekten gesehen, dass es gerade bei chaotischen Lösungen sinnvoll sein kann, sogenannte stroboskopische Abbildungen bzw. Wiederkehrabbildungen zu analysieren. Eine stroboskopische Abbildung erlaubt z.B., den Zustand eines periodisch getriebenen Systems zu diskreten, von der Treiberfrequenz abhängigen Zeiten zu betrachten. Oder allgemeiner: eine Zeitreihe lässt sich durch eine diskrete Abbildung analysieren, in der z.B. ein Maximum des Signals gegen das jeweilig vorangegangene Maximum aufgetragen wird (Lorenz Plot).
In den meisten Fällen lässt sich eine solche Poincare Abbildung eines kontinuierlichen Systems nicht exakt bestimmen. Man kann aber zeigen, dass viele Eigenschaften diskreter Abbildungen universell gelten, also für Klassen von Differenzengleichungen. Deren 'einfachste' Formen lassen sich häufig analytisch diskutieren, so dass man entsprechende Eigenschaften numerisch bestimmter Poincare Abbildungen daraus ableiten kann.
Es gibt ein Beispiel für die exakte Korrespondenz zwischen einer Differentialgleichung und ihrer stroboskopischen Abbildung: der periodisch gestoßene Rotator. Dabei handelt es sich um ein mathematisches Pendel, das mit der Periode T angestoßen wird


Mit kann man es in ein autonomes System umschreiben


Die Differentialgleichung für y lässt sich im Zeitintervall [nT,(n+1)T] exakt lösen (vergl. Skript Differentialgleichungen: inhomogene Differentialgleichungen 1. Ordnung) ( )


Für t=(n+1)T gilt somit


Einsetzen in die Differentialgleichung für x und Integration über t liefert im Intervall


bzw zur Stroboskopzeit t=(n+1)T


Man nennt diese Differenzengleichung die Standardabbildung.
Wir haben in einem Maple Projekt die logistische Abbildung kennen gelernt, die man aus der Standardabbildung erhält


Zusammenfassung: Wiederkehr- bzw Stroboskopische Abbildungen sind diskrete Abbildungen im Phasenraum. Sie sind in der Dimension um 1 kleiner als das korrespondierende nichtlineare System: also Phasenraumschnitte der entsprechenden Lösungstrajektorien. Diskrete Abbildungen (Differenzengleichungen) sind im Prinzip numerisch exakt lösbar (im Gegensatz zu Differentialgleichungen), da sie keinen zusätzlichen Diskretisierungsalgorithmus benötigen.