Bifurkationen

Bisher haben wir Lösungen von Differentialgleichungen für feste Kontrollparameter betrachtet. In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, wie sich die Stabilität von Lösungen in Abhängigkeit von den Kontrollparametern ändert.
Dazu betrachten wir drei charakteristische Fälle:

(i)

Stabilitätswechsel:
Die Differentialgleichung


besitzt zwei kritische Punktlösungen . Die Linearisierung in einer Umgebung um diese Lösungen ergibt

Lösung der Differentialgleichung für verschiedene Werte von p. blau: p<0, grün: p>0. Die rote Gerade entspricht der asymptotischen Lösung.	Kritische Punktlösung der Differentialgleichung als Funktion des Kontrollparameters: die blaue Kurve zeigt die beiden stabilen, die rote Kurve die instabilen Knotenäste.

In Abhängigkeit vom Kontrollparameter p erhält man somit folgendes Bild:

(ii)

Hopf Bifurkation:
Eine Hopf Bifurkation kennzeichnet den Übergang von einem stabilen Fokus in eine Grenzkreis Lösung. Als Beispiel betrachte die Differentialgleichung (Polarkoordinaten)


mit den speziellen Lösungen . Die erste Lösung ist ein Fokus mit Umgebungslösungen , die zweite Lösung ist ein Grenzkreis für mit dem Radius r=p.

Hopf Bifurkation: Übergang von einem stabilen Fokus in einen Grenzkreis. : r=0 ist stabiler Fokus (blau); : r=0 ist instabiler Fokus, r=p Grenzkreis mit Radius p (rot: Anfangsbedingung außerhalb der Grenzkreis Lösung, grün: Anfangsbedingung innerhalb der Grenzkreis Lösung).

(iii)

Gabelungsbifurkation:
Als Beispiel betrachten wir die reibungsfreie Bewegung einer Perle auf einem mit der Frequenz rotierenden kreisförmigen Draht mit dem Radius r. Die Hamilton Funktion des Systems


kann mit Hilfe einer Skalentransformation vereinfacht werden


Dieses konservative System besitzt Punktlösungen im Minimum des Potentials


Damit ergibt sich die folgende Situation


Es entstehen für den Bifurkationspunkt bei p=1 aus einer stabilen Lösung (Zentrum) spontan zwei stabile Lösungen bei .

Potential für p=0.5 (blau) und p=1.5 (rot und grün).	Lösung der schwingenden Perle im Phasenraum für zwei Anfangsbedingungen: =0.4 (kleine blaue Ellipse, grüne Kurve), -0.8 (große blaue Ellipse, rote Kurve).

Die Bewegung der Perle auf dem rotierenden Drahtkreis kann man sich dann wie folgt veranschaulichen: Für also Frequenzen oszilliert die Perle um die Ruhelage . Für oszilliert die Perle je nach Anfangsbedingung um eine der beiden Gleichgewichtslagen bei . Für verschieben sich die Ruhelagen nach .

Gabelungsbifurkation: Übergang von einer Gleichgewichtslage in zwei Gleichgewichtslagen bei p=1.