7 Bewegung starrer Körper

Ein starrer Körper ist definiert als System von Massenpunkten mit fixierten Relativkoordinaten. Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich zerlegen in eine Translationsbewegung seines Schwerpunktes und eine Rotationsbewegung bezogen auf den Schwerpunkt. Damit erhält man für die kinetische Energie

sind die Elemente des Trägheitstensors

bezogen auf ein bestimmtes körperfestes Schwerpunkt System. Der Trägheitstensor ist symmetrisch ( ). Die Diagonalelemente nennt man Trägheitsmomente, die Außerdiagonalelemente Lager- bzw Deviationsmomente. Sie sind ein Maß für die Drehmomente, die bei der Rotation um eine beliebige Achse auf das Achslager wirken. Trägheitsmomente lassen sich mit Hilfe des Steiner'schen Satzes (Parallelachsentheorem) für beliebige Parallelachsensysteme berechnen:

Die Differenz der Trägheitsmomente bezogen auf die Achsensysteme SP und 0 ist gleich der Gesamtmasse des Körpers m multipliziert mit dem Abstand zwischen den parallelen Drehachsen. Trägheitsmomente für einige geometrische Grundformen sind:

Körper	Trägheitsmomente
dünner Stab: Länge l
dünne Scheibe: Radius R
Zylinder: Radius R, Höhe h
Hohlzylinder:
homogene Kugel: Radius R
homogener Würfel: Kantenlänge a

Aus dem Drehimpulssatz leitet sich die Bewegungsgleichung für einen starren Körper ab:

die Winkelbeschleunigung hängt von den äußeren Drehmomenten ab. und sind in der Regel nicht gleichgerichtet. Man findet aber zu jedem starren Körper mindestens ein Hauptachsensystem. so dass der Trägheitstensor diagonal wird (alle Lagermomente verschwinden) und bei einer Drehung um eine der Hauptachsen der Drehimpulsvektor und die Drehachse gleichgerichtet sind. Mathematisch erhält man diese Hauptachsentransformation durch Lösung der Eigenwertgleichung

mit der notwendigen Bedingung für die Existenz nichttrivialer Hauptachsen

Die drei reellen Eigenwerte nennt man Hauptträgheitsmomente, die zugehörigen Eigenfunktionen Hauptachsen.