3. Oszillatoren

Die Bewegungsgleichung eines getriebenen, gedämpften harmonischen (lineare Rückstellkraft) Oszillators ist gegeben durch

entspricht der Stärke der Dämpfung und ist die Eigenfrequenz des freien Oszillators. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung - sie setzt sich zusammen aus der allgemeinen Lösung des ungetriebenen Oszillators und einer speziellen Lösung des getriebenen Systems - lautet

wobei für die Frequenz des gedämpften Oszillators gilt

Die Integrationskonstanten der allgemeinen Lösung (Amplitude) und (Phasenwinkel) bestimmen sich durch die Anfangsbedingungen und . Die Lösung zerfällt in zwei Bewegungsformen: (i) der Einschwingvorgang (1. Term) wird bestimmt durch das Wechselspiel zwischen Rückstellkraft und externer Antriebskraft, gedämpft durch den Reibungsterm (ii) die asymptotische Lösung (2. Term) oszilliert synchron zur harmonischen Antriebskraft mit einer Phasenverschiebung. Im Phasenraum zeigt sich die typische Form einer Grenzkreislösung (limit cycle) mit der asymptotischen Lösung als Grenzkreis.

1. : der Massenpunkt oszilliert mit seiner Eigenfrequenz und konstanter Amplitude . Die gespeicherte mechanische Energie beträgt (k: Federkonstante)
   
   
   
   
   Die Phasenraumlösung enspricht einer Ellipse.
2. : der freie, gedämpfte harmonische Oszillator ist gekennzeichnet durch drei Bewegungsformen:
   • Schwache Dämpfung : der Massenpukt oszilliert mit der Frequenz
     
     
     
     
     ist ein Maß für den Energieverlust pro Periode. Die Phasenraumlösung enspricht einer einlaufenden Spirale mit einem stabilen Fokus als asymptotische Lösung.
   • Aperiodischer Grenzfall : der Massenpunkt oszilliert nicht; er erreicht die Gleichgewichtslösung innerhalb kürzester Zeit.
   • Überdämpfung : die Lösung verläuft exponentiell gegen den Gleichgewichtspunkt (stabiler Knoten).
3. : die Lösung beginnt mit einem komplizierten Einschwingvorgang der abhängig von der Dämpfung in einen asymptotischen Grenzkreiszustand übergeht. Amplitude und Phase der asymptotischen Lösung ergeben sich aus
   
   
   
   
   
   
   
   Resonanz erhält man, wenn der Nenner im Ausdruck für die Amplitude minimal wird (setze 1. Ableitung des Nenners gleich 0)
   
   
   
   

Gekoppelte Schwingungen identischer Oszillatoren, die über eine Feder der Federkonstanten verbunden sind, lassen sich durch folgende Bewegungsgleichungen beschreiben

Die Lösung dieses ungedämpften Systems ist

mit den Frequenzen

Die Bewegung ist generell eine Überlagerung aus zwei Normalschwingungen: (i) Schwingung beider Massen in Phase mit der Frequenz (ii) Schwingung beider Massen in Gegenphase mit der Frequenz .