8.2.2 Beispiele

B8.5 Kurbelmechanismus

Der Kurbelmechanismus dient dazu, eine Translations- in eine Rotationsbewegung umzuwandeln. Anwendungen sind vielfältig, z.B. der Antrieb der Kurbelwelle im Auto durch die Kolbenbewegung im Zylinder.

Abbildung 8.7: Kurbelmechanismus

Wir wollen die Bewegung der Massen und beschreiben. Grundsätzlich haben wir für die Massenpunkte Freiheitsgrade, die durch die folgenden Zwangsbedingungen eingeschränkt werden:

Offenbar legen die 6 Zwangsbedingungen die 6 Freiheitsgrade der Massenpunkte vollständig fest. Es verbleibt kein Freiheitsgrad, der noch durch die Bewegungsgleichung zu bestimmen wäre. Man erhält aus (2) und (3) mit der Anfangsbedingung , ,

und aus (4) - (6)

Es gibt einen interessanten Sonderfall für und die Anfangsbedingung , , :

In diesem Fall schwingt die Kurbel über die Mitte des Kreises hinaus. Mit der Anfangsbedingung erhält man hingegen , d.h. die Masse bleibt im Mittelpunkt und bewegt sich im Abstand um herum.

B8.6 Bewegung eines Massenpunktes in einem Trichter

Abbildung 8.8: Bewegung auf der Innenseite eines Kegels

Wegen der Zylindersymmetrie des Systems wählen wir Zylinderkoordinaten , und mit

Der Massenpunkt bewegt sich auf der Innenseite eines Kegels . Somit verbleiben 2 Freiheitsgrade, die wir durch generalisierte Koordinaten (z.B. , ) beschreiben müssen. Zunächst beginnt man mit der Bestimmung der Lagrange-Funktion:

Unter Brücksichtigung der Kegelfläche findet man

und somit

Wir sehen, die Lagrange-Funktion ist nur noch von den zwei generalisierten Koordinaten und abhängig, entsprechend der beiden Freiheitsgrade, die für eine Bewegung auf einer Fläche möglich sind. Wir sehen auch, dass die Bestimmung der generalisierten Koordinaten nicht eindeutig ist: Wir hätten über die Zwangsbedingung genauso gut anstatt eliminieren können. Ohne weitere Rechnung erkennt man, dass nicht von abhängt. Offenbar ist eine zyklische Koordinate mit

Die Erhaltungsgröße entspricht dem Drehimpuls des Massenpunktes bezüglich der z-Achse. Somit verbleibt noch die Lagrange-Gleichung für

Nach einigen Umformungen ergibt sich

Abbildung 8.9: Bewegung eines Massenpunktes in einem Trichter bei 'horizontaler' Anfangsgeschwindigkeit.