7.3 Der Drehimpuls - Bewegungsgleichung eines starren Körpers

Bezogen auf ein körperfestes Schwerpunktsystem ist der Drehimpuls eines diskreten starren Körpers

Da Allgemein

gilt, folgt unmittelbar

Schreibt man diesen Ausdruck für eine beliebige Komponente (z.B. ) aus, so erhält man

bzw. in Vektorschreibweise

Aus der linearen Algebra wissen wir, dass die Vektoren und im allgemeinen nicht gleichgerichtet sind, wenn die Matrix nicht diagonal ist (dass diagonal ist, ist nicht hinreichend, damit . Es muss zusätzlich parallel zu einer der Hauptachsen (siehe 7.4) gerichtet sein (siehe auch Beispiel B7.7). D.h. der Drehimpuls eines rotierenden Körpers wird im allgemeinen in eine andere Richtung zeigen als die Drehachse!

B7.1 Rotierende Hantel

Abbildung 7.8: Rotierende Hantel

Für die Geschwindigkeiten der beiden Massen gilt

und für den Drehimpuls

steht senkrecht auf und . Da aber nicht senkrecht auf steht, müssen und einen Winkel zueinander besitzen. Hinzu kommt, dass zeitlich nicht konstant ist, sondern sich auf einem Kegel um die Drehachse mit der Winkelgeschwindigkeit bewegt. Da aber von der Zeit abhängt, ist . Wir wissen aus dem Drehimpulssatz, dass eine zeitliche Änderung des Drehimpulses nur durch ein Drehmoment hervorgerufen werden kann, also

Andererseits gilt für einen zeitlich konstanten Trägheitstensor

so dass wir eine Bewegungsgleichung für den rotierenden Körper erhalten (bezogen auf ein körperfestes Schwerpunktsystem)

(Beachte die Analogie zur Newton'schen Bewegungsgleichung .) Wirken keine äußeren Drehmomente sind und somit konstant (unter der Voraussetzung, dass zeitlich konstant ist).