4.3.1 Elastische Stöße

Ist die interne Wechselwirkung zwischen den Massenpunkten konservativ, so gilt zusätzlich zur Impulserhaltung auch die Energieerhaltung, d.h. die Summen der kinetischen Energien außerhalb der Wechselwirkunsgzone vor und nach dem Stoß sind identisch

Solche Streuvorgänge nennt man elastische Stöße.

Beispiele:

B4.1 Eindimensionaler elastischer Stoß (zentraler Stoß)

Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeiten zweier Massenpunkte. Bestimme die Endgeschwindigkeiten nach einem elastischen Stoß. Die Energieerhaltung liefert

Impulserhaltung

Das Verhältnis von (4.3) zu (4.4) ergibt nach dem 3. binomischen Lehrsatz

Man sieht, dass die Relativgeschwindigkeit im zentralen elastischen Stoß die Richtung umkehrt. Aus (4.5) und (4.4) folgt

Wir betrachten einige Spezialfälle für (ruhendes Target (Zielmasse)):

(i)

.:
In diesem Fall ist und . D.h. die kinetische Energie der Projektilmasse wird vollständig auf die Targetmasse übertragen.

(ii)

.:
Es gilt

Beide Massen fliegen in positiver Richtung weiter mit .

(iii)

.:
Beide Massen bewegen sich nach dem Stoß in entgegengesetzter Richtung mit den Geschwindigkeiten

Für den Spezialfall ergibt sich dann

(Bsp.: Schuss eines Balles () gegen eine Wand ()).

B4.2 Elastischer Stoß zweier fallender Bälle unterschiedlicher Masse

Ein Tischtennisball der Masse und ein Hartgummiball der Masse fallen aus einer Höhe senkrecht nach unten.

Abbildung 4.5: Ballspiele

Welche Höhe erreicht der Tischtennisball nach dem Auftreffen maximal?

)

Im ersten Schritt bestimmen wir die Auftreffgeschwindigkeit der Bälle aus dem Energiesatz

)

Die zweite Phase ist bestimmt durch zwei kurz aufeinanderfolgende elastische Stöße

)

. trifft elastisch auf den Boden () auf und kehrt seinen Impuls um.

)

. und stoßen zusammen (fast am Boden, wo sie keine potentielle Energie besitzen), so dass eine Geschwindigkeit nach oben erhält.

Daraus erhält man die Geschwindigkeit der Massen vor ihrem Zusammenstoß (wegen )

und die Geschwindigkeiten und nach dem Stoß aus Impuls- und Energieerhaltung

Zur Bestimmung der Flughöhe benutzen wir wieder die Energieerhaltung für die Masse (senkrechter Wurf nach oben)

Damit ergibt sich aus (4.6)

und Einsetzen in (4.7)

Aus (4.8) erhält man mit

Die maximal erreichbare Höhe erhalten wir für , so dass wir gegenüber vernachlässigen können, also

Das Arbeitsblatt Elastischer Stoß unter dem Einfluss der Gravitation erlaubt es Ihnen, dieses Beispiel noch einmal interaktiv nachzuempfinden.