3.5 Gekoppelte Oszillatoren

Abbildung 3.13: Oszillatorkette

Ein System von zwei gekoppelten Oszillatoren wird beschrieben durch die Bewegungsgleichung

Daraus ergibt sich mit

ein gekoppeltes System aus zwei Differentialgleichungen 2. Ordnung. Mit Hilfe der Substitution

lassen sich die Differentialgleichungen entkoppeln. Einsetzen ergibt

Durch Addition und Subtraktion erhält man

Die Oszillatoren entkoppeln in den neuen Koordinaten und . Man bezeichnet sie als die Normalschwingungen (Normalmoden) des Systems. Die Lösungen sind

mit den beiden charakteristischen Frequenzen und . Um die Normalmoden besser interpretieren zu können, transformieren wir in die ursprünglichen Koordinaten zurück

Mit bestimmten Anfangsbedingungen können wir die folgenden Fälle unterscheiden

(a)

. :

Beide Oszillatoren schwingen in Phase mit gleicher Amplitude und der natürlichen Frequenz . D.h. die mittlere Feder wird nicht aus ihrer entspannten Lage ausgelenkt. Dies entspricht der Normalschwingung .

(b)

. :

Die beiden Oszillatoren schwingen in Gegenphase mit der größeren Frequenz . In dieser Normalschwingung wird nun auch die mittlere Feder wirksam: dies erklärt die größere Frequenz.

(c)

. :

Umformung ergibt

und oszillieren phasenverschoben mit der Frequenz . Die Amplitude wird moduliert mit der kleineren Frequenz (Beatfrequenz). Mit dieser Modulationsfrequenz tauschen die beiden Oszillatoren Energie aus. Ist die Kopplung zwischen den Oszillatoren groß, gilt , erfolgt der Energieaustausch schnell.

Abbildung: Energieaustausch im gekoppelten Oszillator. Fall a):rot ; Fall b):blau ; Fall c):grün und schwarz

Das Applet Normalschwingungen in einem gekoppelten Oszillator erlaubt Ihnen, für voreingestellte Anfangsbedingungen die besprochenen Bewegungsformen zu simulieren.