3.4 Der getriebene Oszillator

Abbildung 3.10: Getriebener harmonischer Oszillator

Treibt man den harmonischen Oszillator durch eine äußere harmonische Kraft an, so hat man die Bewegungsgleichung zu lösen

Dabei handelt es sich um eine lineare inhomogene Differentialgleichung Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Eine allgemeine Lösung erhält man durch Superposition der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung und einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (Partikulärintegral), also

Wir machen den Ansatz

und müssen zeigen, dass B und so bestimmt werden können, dass der Ansatz die Bewegungsgleichung erfüllt. Durch Einsetzen erhält man

Da eine Lösung der homogenen Gleichung ist, folgt mit Hilfe der Additionstheoreme

Diese Bedingung muss für beliebige Zeiten erfüllt werden. Da und linear unabhängig sind ist dies nur möglich wenn die Ausdrücke in den Klammern 0 sind, also

Aus erhält man mit Division durch eine Bestimmung der Phase

Die Amplitude erhält man,indem man (i) und (ii) quadriert und das Ergebnis addiert

Damit haben wir als allgemeine Lösung des getriebenen harmonischen Oszillators

und sind durch die Parameter der Differentialgleichung festgelegt, und müssen über die Anfangsbedingungen und bestimmt werden. Wir sehen, dass die Lösung (3.4) zwei typische Verhaltensmuster aufweist: (i) für kleine Zeiten zeigt sich ein vorübergehendes Einschwingverhalten durch die Überlagerung von und . (ii) für große Zeiten klingt die Amplitude des ersten Terms exponentiell ab, so dass der Oszillator vollständig durch die harmonische Antriebskraft ''versklavt'' wird. Im Phasenraum entspricht die zeitlich asymptotische Lösung einer Ellipse.

Abbildung 3.11: Phasenraumtrajektorie des getriebenen Oszillators.

Da jede Lösung (zu gegebenen ) zu einer beliebigen Anfangsbedingung gegen die selbe asymptotische Lösung konvergiert, nennt man sie Grenzkreislösung. Sie entspricht einem Attraktor der Dimension . Amplitude und Phase der Grenzkreislösung hängen von den Parametern der Differentialgleichung ab.

Man sieht, dass die Amplitude maximal wird, wenn die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz des freien Oszillators entspricht. In diesem Fall nimmt die Phase den Wert /2 an. Dieses Verhalten bezeichnet man als Resonanz. Abhängig vom Reibungskoeffizient kann die Amplitude sehr groß werden und den Oszillator - z.B. ein Hochhaus oder eine Brücke - zu so starken Schwingungen anregen, dass er zerstört wird (Resonanzkatastrophe).

Zum Abschluss der Diskussion über verschiedene Bewegungsformen des harmonischen Oszillators, können Sie den Stoff mit Hilfe eines Arbeitsblattes und eines Applets zum schweren Feder Pendel vertiefen.